martes, 11 de agosto de 2009

Las representaciones de Heisenberg y Schrödinger

En las entradas previas “El operador de traslación” y “El operador de evolución del tiempo” se introdujeron dos nuevos operadores además de los operadores mecánico-cuánticos que ya se han visto previamente tales como el operador Hamiltoniano de la energía cinética -(ħ2/2m)∂2/∂x2, todos los cuales actúan sobre una función de onda Ψ que es el operando que cambia de alguna manera bajo la acción de dichos operadores.

Haciendo un repaso previo sobre la substancia principal de la materia de que trata la Mecánica Matricial de Heisenberg y estableciendo comparaciones, sin duda alguna lo más relevante es que en la Mecánica Matricial no existen funciones de onda Ψ como las que encontramos en la Mecánica Ondulatoria de Schrödinger. Esto no significa que no se pueda llevar a cabo el análisis de la evolución temporal de los sistemas físicos mediante la Mecánica Matricial o que no se puedan llevar a cabo operaciones de traslaciones espaciales. En la entrada titulada “La matriz momentum como generadora de traslación” pudimos ver cómo se pueden llevar a cabo operaciones de traslación sin problema alguno si se puede definir una matriz con la cual se puedan efectuar los cambios requeridos en la matriz M que representa al sistema físico. Inclusive también se pueden llevar a cabo operaciones de rotación como las que se vieron en la entrada “La matriz generadora de rotación”. Aún si la Mecánica Ondulatoria se hubiese creado antes que la Mecánica Matricial esto es algo que podría haberse anticipado dada la equivalencia matemática plena que hay entre ambos rostros de la Mecánica Cuántica y de la cual se habló en la entrada “Mecánicas Matricial y Ondulatoria: equivalencia”. De cualquier manera, no hay función de onda alguna Ψ en el panorama de la Mecánica Matricial, toda la acción se lleva a cabo en la misma matriz que describe al sistema físico.

Si consideramos a la matriz M que describe a un sistema físico como un operador matricial, y ciertamente se trata de un operador ya que es a través de sus autovalores propios eigen que podemos saber los resultados anticipables en experimentos de laboratorio, entonces resulta evidente que en la Mecánica Matricial de Heisenberg lo que cambia es el operador en sí, y no algún operando externo. Una observación cuidadosa de este hecho nos lleva a considerar una nueva posibilidad que no habíamos explorado previamente: ¿y por qué no, en vez de considerar a la función de onda Ψ como aquello cuyos cambios reflejan los cambios predichos para un sistema físico, considerar también al operador como algo manipulable manteniendo a la función de onda inmutable? Esta pregunta crucial nos conduce directamente a las dos formas de efectuar operaciones en la Mecánica Cuántica. La primera de ellas, a la cual llamaremos representación de Schrödinger, consiste en utilizar un operador U dejándolo que actúe sobre una función de onda (un vector de estado). El operador en sí permanece inalterable, lo que cambia es la función de onda. El ejemplo que se nos puede venir a la mente es el operador diferencial del momentum:


Este operador diferencial no tiene nada que lo permita variar de alguna manera. Lo que va a cambiar es aquello sobre lo que va a actuar:


Es la función de onda (o el ket> si lo queremos llamar así) lo que cambia. Esta es la forma en la que hemos estado trabajando en la Mecánica Ondulatoria de Schrödinger al utilizar su ecuación de onda. El operador permanece impasible, inalterable, mientras que el operando va a cambiar de alguna manera.

La otra forma de hacer Mecánica Cuántica consiste en hacer precisamente lo contrario, tomando al operador haciéndolo cambiar de alguna manera, para lo cual usamos otros operadores de transformación. Un ejemplo que se nos puede venir a la mente es el del operador posición Q, el cual podemos desplazar con una operación definida como U-1QU:


Otro ejemplo un poco más específico sobre esta segunda manera de hacer Mecánica Cuántica fue estudiado previamente al ver los siguientes desarrollos en la entrada “Las rotaciones de las matrices de Pauli”:


En este caso es el operador (una matriz) lo que cambia. Esta es la forma en la que hemos estado trabajando en la Mecánica Matricial de Heisenberg. Si hemos de hacer un resumen breve comparando los cambios producidos por ambas técnicas, podemos hacerlo de la siguiente manera:

Representación de Schrödinger:

>U>

Representación de Heisenberg:

XUXU

En la representación de Schrödinger, el vector > es cambiado al vector U> por el operador U, mientras que en la representación de Heisenberg, el operador X es cambiado al operador UXU por las operaciones mostradas (la matriz U es el conjugado complejo de la matriz U).

Tanto la representación matricial de Heisenberg como la representación de Schrödinger tienen su lugar propio dentro de la Mecánica Cuántica. La representación matricial de Heisenberg nos conduce a ecuaciones similares a las ecuaciones clásicas del movimiento (como se acostumbra en la Mecánica Hamiltoniana), y es utilizada para explorar las propiedades generales de sistemas cuánticos así como las analogías entre la mecánica clásica y la Mecánica Matricial; mientras que la representación de Schrödinger es más útil para efectuar cálculos. Una ecuación de Schrödinger, siendo una ecuación entre vectores (eigenkets), es por lo general más fácil de resolver que la ecuación de Heisenberg correspondiente, que es una ecuación entre operadores.

Ya que en prácticamenterepresentación de Schrödinger que debe resultar familiar a estas alturas, nos enfocaremos aquí al manejo de representaciones de Heisenberg. Una relación usada ampliamente al trabajar con representaciones de Heisenberg, en la cual se manipulan dinámicamente operadores de todo tipo es la ecuación de movimiento de Heisenberg, la cual fue introducida en una entrada previa bajo el mismo título. La ecuación fundamental para un sistema físico cuyo operador Hamiltoniano de energía se simboliza como H y en la cual se utiliza la “notación punto” (un puesto encima del operador) para simbolizar la derivada total del operador Q con respecto al tiempo (o sea dQ/dt), es la siguiente:


Esta relación supone que el operador Q es una función implícita del tiempo (cualquiera de los parámetros de Q puede ser una función del tiempo, aunque el tiempo en sí no aparezca explícitamente). En caso de que el operador Q sea una función explícita del tiempo (significando con ello que el operador Q contiene por lo menos un término en el que el parámetro del tiempo t aparece en forma explícita ) se vuelve necesario recurrir a la definición más amplia:


Los siguientes dos ejemplos nos muestran una instancia en la que Q no es una función explícita del tiempo y otra en la que sí lo es:


Para distinguir a un operador g de la observable física g representada mediante dicho operador, podemos rematar la letra-símbolo con texto en negrita reservado para el operador con la finalidad de poder establecer dicha diferencia. Ahora bien, si vamos a estar desmenuzando situaciones con una representación de Heisenberg, ¿con qué operadores vale la pena comenzar? La respuesta obvia: con los operadores posición y momentum.

El sólo hecho de llevar a cabo una transición matemática de cantidades observables a las mismas cantidades representadas mediante operadores frecuentemente nos reserva sorpresas inesperadas que no son fáciles de anticipar. Una de tales sorpresas la tenemos para el caso de una partícula libre sobre la cual queremos evaluar el conmutador de Born formado con la posición x(0) de la partícula libre en un tiempo inicial t.=.0, y con la posición x(t) de la partícula libre en un tiempo posterior t diferente de cero. El conmutador de ambas cantidades (observables) físicas será:


Puesto que se trata de observables físicas, en donde x(0) puede ser algo como 3 centímetros, y en donde x(t) puede ser algo como 7 centímetros, el conmutador es obviamente igual a cero ya que dos números reales siempre conmutan entre sí:


Sin embargo, si lo que se va a evaluar es el conmutador de dos operadores posición evaluados en tiempos diferentes:


entonces la situación cambia radicalmente, y tenemos que decirle adiós a la conmutatividad aunque se trate de dos operadores posición. Para el caso de una partícula libre de la cual su operador Hamiltoniano H es esencialmente igual a la expresión operacional que corresponde a su energía cinética, o sea p2/2m, la ecuación de movimiento de Heisenberg para el operador posición de la partícula libre viene dando (tomaremos el momentum dirigido en el sentido del eje-x):


Obsérvese arriba que para la evaluación que se hizo pasando de la segunda línea a la tercera línea se recurrió a una relación general demostrada en otras entradas de esta obra:


y que para la representación de Heisenberg podemos escribir de modo un poco más formal como:


La relación obtenida con la ecuación de movimiento de Heisenberg para el operador posición puede ser integrada directamente (sobre la variable del tiempo) obteniendo de este modo:


siendo x(0) el operador posición evaluado en un tiempo inicial t.=.0, y siendo px(0) el operador del momentum evaluado en un tiempo inicial t.=.0.

Para el caso del operador del momentum, la ecuación de movimiento de Heisenberg arroja el siguiente resultado:


en donde el resultado obtenido de cero es consecuencia de que todo operador conmuta consigo mismo o con cualquier potencia de sí mismo. Esto nos deja únicamente con lo que se había obtenido para el operador posición, lo cual nos permite evaluar el conmutador del operador posición x(t) en un tiempo t y del operador posicion x(0) en un tiempo inicial igual a cero:


Definitivamente, lo que se obtiene aquí no es nada igual a cero o cosa que se le parezca. Podemos reconocer de inmediato al conmutador obtenido en la última línea involucrando al operador posición y al operador del momentum como la relación de Born (en el caso en que los dos operadores sean matrices, se sobreentiende que el lado derecho de la ecuación está multiplicado además por una matriz identidad I):


De este modo, se obtiene finalmente:


Se pueden obtener varias conclusiones de esta relación para una partícula libre. La más importante es que, si recurrimos a misma relación matemática de carácter general para dos operadores M y N que tratándose de matrices nos permitió obtener el principio de incertidumbre de Heisenberg en su forma matricial:


entonces con la ayuda de esta relación se concluye que:


Esto nos revela que aunque la posición de una partícula libre esté bien determinada en un tiempo inicial t.=.0, su posición se volverá paulatinamente más incierta conforme vaya transcurriendo el tiempo. Podemos medir nuevamente la posición de la partícula en un tiempo posterior provocando con ello el colapso de la función de onda (véase la entrada “El acto de medición”) pero una vez hecha la medicion la incertidumbre en la posición de la partícula volverá a aumentar irremediablemente.

Dejando atrás el caso de la partícula libre, ahora veremos el sistema ligado más sencillo de todos, el oscilador armónico simple.

PROBLEMA: (1) Demuéstrese, usando las ecuaciones de movimiento de Heisenberg, que en una representación de Heisenberg para un oscilador armónico simple los operadores de la posición x y del momentum p “oscilan” tal y como lo hacen sus contrapartes clásicos. (2) Demuéstrese que, en la representación de Heisenberg, el operador Hamiltoniano H para el oscilador armónico simple es independiente del tiempo.

(1) Tomando como guía el análogo clásico, el operador Hamiltoniano H para el oscilador armónico simple, en función del operador posición x y del operador momentum p, es:


Usando uno de los resultados intermedios obtenidos arriba para la partícula libre, con la ayuda de la ecuación de movimiento de Heisenberg se tiene para el oscilador armónico simple lo siguiente tratándose del operador posición x:


Recurriendo nuevamente a la ecuación de movimiento de Heisenberg, se tiene para el oscilador armónico simple lo siguiente tratándose del operador del momentum p:


Se tiene, pues, dos ecuaciones diferenciales acopladas:


Para desacoplar estas dos ecuaciones diferenciales, podemos tomar la derivada con respecto al tiempo en ambas y substituyendo la primera derivada de cada una en la ecuación de segundo orden de la otra, obteniéndose la siguiente ecuación diferencial de segundo orden para el operador posición x:


Procediendo del mismo modo tratándose del operador del momentum p, se obtiene la siguiente ecuación diferencial de segundo orden:


Se puede verificar fácilmente que las soluciones para las dos ecuaciones diferenciales de segundo orden son las siguientes:


siendo x(0) el operador posición evaluado en un tiempo inicial t.=.0, y siendo p(0) el operador del momentum evaluado en un tiempo inicial t.=.0. Resulta evidente, viendo ambas ecuaciones, que los operadores x y p “oscilan” tal y como lo hacen sus análogos clásicos.

(2) El operador Hamiltoniano H en la representación de Heisenberg de un oscilador armónico simple para cualquier tiempo t se puede evaluar de la siguiente manera usando las soluciones obtenidas para x(t) y para p(t):


Puesto que el Hamiltoniano H(t) depende de los valores iniciales de los operadores x y p, o sea de x(0) y p(0), se concluye que el operador Hamiltoniano es independiente del tiempo.

En este punto, es importante hacer hincapié en el hecho de que tanto el operador posición x como el operador del momentum p pueden ser matrices, si es que deseamos llevar a cabo un análisis de tal manera, pero no es necesario que lo sean, ya que también pueden ser los operadores diferenciales que hemos estado utilizando en Mecánica Ondulatoria. Esto es importante, porque implica que al estar trabajando usando una representación de Heisenberg no estamos revirtiendo necesariamente a la Mecánica Matricial. Podemos trabajar con una representación de Heisenberg usando operadores diferenciales y no matrices. La idea aquí detrás de las representaciones de Heisenberg y de Schrödinger no es tanto el estar trabajando o no con los métodos de la Mecánica Matricial y los métodos de la Mecánica Ondulatoria sino más bien el hecho de que en lugar de actuar sobre los kets de estado (las funciones de onda que describen al sistema) lo hacemos sobre los operadores que a su vez pueden actuar sobre dichos kets de estado, de forma tal que el comportamiento del sistema es conceptualizado no con lo que sucede con los kets sino con lo que sucede con los operadores.

Ahora bien, si para cualquier sistema físico tomamos al operador posición x y actuamos sobre dicho operador de la siguiente manera con un operador unitario (el cual puede ser un operador de traslación, un operador de evolución del tiempo, en fin, cualquier tipo de operador que sea válido):


lo que se obtiene es un operador posición nuevo, modificado, que en este caso se puede simbolizar como X:


Del mismo modo, si tomamos al operador del momentum p y actuamos sobre dicho operador de la siguiente manera con el mismo operador unitario unitario:


lo que se obtiene es un operador posición nuevo, modificado, que en este caso se puede simbolizar como P:


Supóngase que el operador unitario en cuestión es un operador de evolución del tiempo. Aquí podemos formularnos una pregunta interesante que sólo puede ser respondida cuando se trabaja dentro de una representación de Heisenberg: ¿Cómo son los operadores posición x y momentum p en un tiempo posterior cuando se ha actuado sobre ellos de la manera indicada? En una situación así, si el operador Hamiltoniano H es el que corresponde a un oscilador armónico simple, la sospecha inmediata es que debemos obtener los mismos resultados que los que se obtuvieron arriba con la ayuda de la ecuación de movimiento de Heisenberg. Para el caso del operador posición, el cálculo que debe efectuarse es el siguiente:



en tanto que para el caso del operador posición el cálculo que debe efectuarse es:


Antes de continuar adelante, se establecerá un resultado matemático que resulta ser de gran utilidad.

PROBLEMA: Considérense dos matrices cuadradas L y M tomadas del grupo general de matrices lineales n×n. Demuéstrese la siguiente relación:


en donde los conmutadores están definidos de la siguiente manera mediante una iteración recursiva:


Aunque lo que se tiene aquí, en esencia, son funciones matriciales, el análisis que se llevará a cabo de carácter general es igualmente aplicable si se trata de operadores mecánico-cuánticos diferenciales (y no matriciales) que podemos simbolizar simplemente como L y M.

La solución a este problema se lleva a cabo recurriendo al añejo método matemático conocido como la inducción matemática que consiste en asentar la veracidad de una relación en cierto punto de inicio (primer paso), suponiendo tras esto que es válido para un paso intermedio en un valor k del parámetro en cuestión (segundo paso), y buscando finalmente la manera de demostrar que si la relación es válidad para k entonces debe ser válida para k+1 (tercer paso), con lo cual se concluye que será válida para todos los valores posibles de k.  La solución al problema empieza definiendo una función matricial multi-valuada de un parámetro real α:


Se puede llevar a cabo una expansión de F(α) mediante una serie de Taylor en el punto α.=.0:


Para poder continuar adelante, y poniendo atención en el orden de los factores (en virtud de la no-conmutatividad de los productos matriciales) evaluaremos ahora la derivada con respecto al parámetro α del producto matricial A(α)B(α) recurriendo para ello a la misma definición infinitesimal de lo que es una derivada:


Esta es la regla del producto que corresponde a la derivada del producto de dos funciones A(α) y B(α) que no son conmutativas y en donde el orden de los factores tiene que ser respetado.

Por otro lado, se tiene también:


en donde se ha hecho uso de la propiedad de que toda matriz conmuta consigo misma pudiéndose por lo tanto obtener la derivada del exponencial como se acostumbra hacerlo con una función cualquiera. De este modo, la primera derivada dF(α)/dα es igual a:


Del mismo modo, la segunda derivada d2F(α)/dα2 es igual a:


A continuación, supondremos como válido (aquí empieza ya el tercer paso en el proceso de inducción matemática):


Para completar la prueba mediante la inducción, basta ver que:


Por lo tanto:


que era lo que se deseaba demostrar. Reformulado de un modo que resulta un poco más útil dentro de la Mecánica Cuántica, este resultado puede ser ampliado de una manera más general en la forma que se muestra a continuación:



La relación que se acaba de demostrar es mejor conocida como la fórmula Baker-Campbell-Hausdorff (también conocida como lemma Baker-Hausdorff), llamada así en memoria de los matemáticos Henry Frederick Baker, John Edward Campbell y Felix Hausdorff que la desarrollaron.

Para el caso del operador posición cuando el Hamiltoniano H bajo consideración es el de un oscilador armónico simple, el lemma Baker-Hausdorff nos lleva a lo siguiente:


Esto se puede simplificar aún más si recurrimos a las siguientes relaciones:


Por lo tanto:


Este es exactamente el mismo resultado que el que se obtuvo arriba para el operador posición. En este punto, tal vez no parezca muy obvia la naturaleza operacional del operador posición X(t), pero lo curioso del asunto salta a relucir si recurrimos a la notación convencional que se ha estado utilizando previamente (la relación dada en la segunda línea corresponde a la frecuencia angular ω en función de la “constante del resorte” k y la masa m de la partícula):


Con esto, el operador posición X(t) viene siendo:


Es importante destacar que esto último es una expresión diferencial que es válida únicamente para una representación de Heisenberg, habido el hecho de que en la representación de Schrödinger los operadores no varían. De esta relación resulta obvio que en el tiempo inicial t.=.0, el operador posición X(0) es igual al operador posición convencional de Schrödinger:


En cualquier otro tiempo que sea diferente de cero, el operador posición X(t) en la representación de Heisenberg y el operador posición en la representación de Schrödinger toman formas diferentes.

En lo que toca al operador del momentum, cuando el Hamiltoniano H bajo consideración es el de un oscilador armónico simple, el lemma Baker-Hausdorff nos lleva a lo siguiente:


Recurriendo nuevamente a las relaciones de simplificación dadas arriba, lo anterior se reduce a:



Nuevamente, este es también exactamente el mismo resultado que el que se obtuvo arriba para el operador del momentum. Y también aquí lo curioso del asunto salta a relucir si recurrimos a la notación convencional que se ha estado utilizando previamente obteniéndose:


Aquí también esto es una expresión diferencial que es válida únicamente para una representación de Heisenberg, habido el hecho de que en la representación de Schrödinger los operadores no varían. De esta relación resulta obvio que en el tiempo inicial t.=.0, el operador del momentum P(0) es igual al operador del momentum convencional de Schrödinger:


Si juntamos ambos operador posición y operador del momentum para el caso del oscilador armónico simple en una representación de Heisenberg:


entonces en forma por demás interesante podemos ver que en la representación de Heisenberg tanto el operador posición como el operador del momentum son expresiones diferenciales no-triviales. Recuérdese cómo en el espacio-posición (véanse las entradas “El espacio-posición y el espacio-momentum”) el operador posición era un operador trivial que se tomaba como la misma variable de la posición mientras que el operador del momentum era un operador diferencial no-trivial, mientras que en el espacio-momentum el operador posición era un operador diferencial no-trivial mientras que el operador del momentum se tomaba trivialmente como la misma variable del momentum. Pero en la representación de Heisenberg que estamos usando aquí, ambos operadores de la posición X(t) y del momentum P(t) son expresiones con términos diferenciales, las cuales además varían con el correr del tiempo a diferencia de los operadores convencionales en la representación de Schrödinger, lo cual resalta aún más las diferencias entre ambas representaciones.

En el problema que se acaba de resolver, los operadores transformados bajo la acción de un operador unitario (el operador de evolución del tiempo) eran operadores diferenciales. A continuación veremos un caso en el que los operadores son matrices.

PROBLEMA: Para un electrón cuyo vector de spin tiene un movimiento de precesión en torno a un campo magnético uniforme que apunta en el sentido positivo del eje-z, el operador Hamiltoniano de energía que corresponde a la energía del spin se puede escribir en el sistema de unidades cgs-Gaussiano de la siguiente manera (el signo negativo en la primera línea se desvanece al introducir la carga del electrón con su signo negativo):


Partiendo de esto, transfórmense los operadores de spin Sx, Sy y Sz a una representación de Heisenberg.

En las matrices 2×2 Sx, Sy y Sz, como ya se ha visto con anterioridad, no aparece la variable del tiempo entre ninguno de sus elementos a la variable del tiempo. Sobre esta base, superficialmente, parecería que no es posible hacerlas variar con el tiempo. Sin embargo, tal cosa se vuelve posible si recurrimos a la ecuación de movimiento de Heisenberg, acordando de antemano que para un tiempo inicial igual a cero (t.=.0) la presencia de la variable del tiempo desaparecerá en las tres matrices al estar trabajando con una representación de Heisenberg. Dicho esto, y apelando a las relaciones de conmutación que ya hemos visto previamente para las matrices Sx, Sy y Sz, tenemos por principio de cuentas para la derivada total con respecto al tiempo de la matriz Sx, o sea dSx/dt, lo siguiente:


En lo que respecta a la derivada total con respecto al tiempo de la matriz Sy, o sea dSy/dt, se tiene lo siguiente:


Y por último, en lo que toca a la derivada total con respecto al tiempo de la matriz Sz, o sea dSz/dt, aprovechando la circunstancia de que toda matriz conmuta consigo misma se tiene entonces de modo trivial lo siguiente:


Se aprovechará aquí la ocasión para señalar que estas ecuaciones del movimiento son justo lo mismo que esperaríamos obtener en la física clásica para un trompo giratorio cuyo momento angular sea ħ/2 con un momento magnético eħ/2mc (en el sistema de unidades cgs-Gaussianas) en un campo magnético de intensidad B.

Combinando las primeras dos relaciones mediante una adición, se tiene:


Por otro lado, combinando las primeras dos relaciones mediante una substracción, se tiene:


Podemos combinar ambas relaciones en una sola y simplificar un poco en preparación para poder llevar a cabo la integración sobre la variable del tiempo:


La integración tiene una solución cerrada en forma de logaritmo natural que puede ser puesta en forma exponencial:


Esto nos lleva finalmente a las soluciones deseadas, que son los operadores Sx, Sy y Sz en la representación de Heisenberg, o sea Sx(t), Sy(t) y Sz(t):


Tal y como se vió más arriba, estos mismos resultados se pueden obtener con la ayuda del operador unitario de evolución del tiempo aplicado en la forma usual:


En base a todo lo que se ha visto arriba, estamos por fin en condiciones de poder definir comparativamente una observable en la representación de Heisenberg de la siguiente manera:


Obviamente, una observable en la representación de Heisenberg coincide con la observable correspondiente en la representación de Schrödinger en un tiempo inicial t.=.0:


En la Mecánica Ondulatoria, una función general de onda Ψ (o bien, lo que es lo mismo, un ket general de estado) puede ser expandida en una combinación lineal de funciones de base (o bien, kets de base) gracias al principio de superposición lineal. Esta expansión mostrada en las dos notaciones de uso común viene siendo:


La introducción de la representación de Heisenberg nos arroja aquí a un dilema de fondo. Este dilema lo podemos empezar a apreciar aplicando un operador unitario de evolución del tiempo a cualquiera de las dos expresiones de arriba. En la representación de Schrödinger, hemos visto ya en la entrada “El operador de evolución del tiempo” cómo la aplicación del operador de evolución del tiempo sobre una función de onda Ψ(x,t) “mueve” dicha función de onda a un tiempo posterior, lo cual implica que para que esto pueda ocurrir algo tiene que cambiar necesariamente en la expansión lineal de la función de onda, ya sean los coeficientes cn o las funciones de base (kets de base):


La pregunta es, desde luego, ¿qué es lo que cambia en una representación de Schrödinger, las funciones de base (kets de base) o los coeficientes multiplicativos cn de cada una de las funciones de base (kets de base)? ¿Y qué decir de lo que ocurre en la representación de Heisenberg? ¿Cambian las funciones de base (kets de base), o cambian los coeficientes multiplicativos?

Sobre esto último, en la representación de Schrödinger en donde los operadores mecánico-cuánticos tales como el operador de la posición, el operador del momentum y el operador del spin permanecen fijos en el tiempo y en donde son las funciones generales de onda (los kets de estado) lo que varía con el tiempo, el cambio se lleva a cabo a través de los coeficientes cn (esto en cierta forma ya se vió en forma implícita en las entradas anteriores que tienen que ver con la evolución temporal de los sistemas físicos, aunque ahora la distinción será resaltada con mayor énfasis). En contraste, en la representación de Heisenberg en donde los operadores que corresponden a las observables varían con el tiempo, los kets de estado permanecen congelados (por así decirlo) a lo que eran en un tiempo inicial t.=.0, lo cual requiere que también los kets de estado (funciones de onda) coincidan en las dos representaciones en un tiempo inicial t.=.0.


Pero en marcado contraste, en la representación de Schrödinger el ket de estado sí varía bajo la acción de un operador de evolución del tiempo:


Sin embargo, y es importante tomar nota de ello, el valor esperado (la esperanza matemática) de una observable física A en la representación de Schrödinger (observable que simbolizaremos como AS) y en la representación de Heisenberg (observable que simbolizaremos como AH) debe ser obviamente la misma en ambas representaciones (los bras y los kets en cada representación son distinguidos a continuación con sub-índices):


La equivalencia entre la representación de Heisenberg y la representación de Schrödinger se apoya en fundamentos matemáticos tales como el teorema de Stone-von Neumann, el cual garantiza que ambas representaciones son equivalentes unitariamente (y hemos estado utilizando tanto matrices unitarias como operadores diferenciales unitarios casi desde un principio). Sin embargo, no todos están de acuerdo en que esta equivalencia sea una equivalencia plena, habiendo sido cuestionada en su tiempo por Paul Adrien Maurice Dirac. Más recientemente, el físico brasileño A. J. Faria y sus colaboradores han propuesto que este no es el caso, y Dan Solomon también ha propuesto un problema dentro de la teoría del campo cuántico para el cual la representación Heisenberg y la representación Schrödinger producen resultados diferentes. Afortunadamente, en la gran mayoría de los problemas con los que frecuentemente solemos encontrarnos en la Mecánica Cuántica, podemos tomar la equivalencia entre ambas representaciones como cierta, dejando los casos patológicos para los investigadores interesados en explorar más a fondo las discrepancias que surgen entre ambas representaciones de vez en cuando.

Además de las representaciones de Heisenberg y de Schrödinger, hay una tercera forma de representación, la representación interacción, para la cual el operador Hamiltoniano de la energía deja de ser independiente del tiempo. Considérese un sistema cuántico cuyo operador Hamiltoniano dependiente del tiempo H(t) puede ser separado en dos partes, una parte independiente del tiempo H0 y una parte dependiente del tiempo H1(t):

H(t) = H0 + H1(t)

Usando el lenguaje de la teoría de las perturbaciones, H0 es el Hamiltoniano no perturbado que describe un sistema de interés tal como una molécula, y H1(t) es la perturbación que describe un sistema externo tal como el campo de energía de un rayo láser utilizado para investigar los niveles de energía y otras propiedades de H0. En tal caso, lo que buscamos es una solución a la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo:


que estará sujeta a un vector inicial de estado |Ψ(t)>. Para poder resolver esta ecuación, introduciremos un nuevo vector de estado |Φ(t)> que estará relacionado al vector |Ψ(t)> de la siguiente manera:


El nuevo vector de estado |Φ(t)> es una representación igualmente válida del estado del sistema. La representación interacción puede ser considerada como una especie de “intermedio” entre la representación de Schrödinger en donde el vector de estado (la función de onda) evoluciona con respecto al tiempo y los operadores permanecen estáticos, y la representación de Heisenberg en donde el vector de estado permanece estático mientras que los operadores son los que evolucionan con respecto al tiempo. En la representación interacción, tanto el vector de estado como los operadores evolucionan en el tiempo, con la evolución temporal determinada por la perturbación H1(t). La última ecuación nos proporciona la manera en la cual se lleva a cabo la transformación entre los vectores de estado de la representación de Schrödinger y la representación interacción. La transformación de los operadores procederá de una manera similar. Si A denota un operador en la representación Schrödinger, entonces usando el operador de evolución temporal propio de la Mecánica Matricial la representación del operador en la representación interacción estará dada por:


Esto es equivalente a una ecuación del movimiento de la forma:


De nuevo, una pregunta casi obligada: ¿es esto último una ecuación matricial? Y la respuesta es negativa. Para que fuera una ecuación matricial, tendríamos que haber empezado a partir de un Hamiltoniano expresado en forma matricial, y el operador A escrito en la representación Schrödinger tendría que haber sido reformulado como un operador matricial, no siendo este el caso aquí. Sin embargo, lo que hemos hecho es perfectamente válido en la “mezcla” que estamos haciendo de la representación de Schrodinger y la representación de Heisenberg.

Substituyendo al vector de estado |Ψ(t)> en la ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo tenemos entonces:


Igualando las partes comunes a H1(t) en las que hay dependencia del tiempo:


Pasando el exponencial del lado derecho de la igualdad al lado izquierdo:


De acuerdo con lo que hemos visto, el operador transformado:


es el Hamiltoniano de perturbación en la representación interacción, el cual denotaremos como HI(t). Por lo tanto, la evolución del vector de estado en la representación interacción estará dada por la siguiente relación:


Independientemente del hecho de que el poder llevar a cabo un análisis mecánico-cuántico usando ya sea una representación de Heisenberg o una representación de Schrödinger nos proporciona una mayor flexibilidad, el poder someter a una manipulación posterior a los mismos operadores que actúan sobre la función de onda Ψ en vez de hacerlo sobre la función de onda, inclusive llevando esa manipulación aún más lejos hasta lo que puede ser llamado una segunda cuantización (o cuantificación), nos abre de par en par la puerta de entrada hacia la Teoría del Campo Cuántico, el epítome mismo de la Mecánica Cuántica.

Material adicional de interés relacionado con el tema de la representación de interacción:

http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/stat.mechII/lectures/lecture_16/node2.html

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