martes, 11 de agosto de 2009

El espacio-posición y el espacio-momentum I

(Este entrada dá un seguimiento más detallado al material que se empezó a cubrir en la entrada titulada “La partícula libre”, a la cual tal vez se le quiera dar un repaso rápido antes de entrar de lleno en el tema del espacio-posición y el espacio-momentum.)

Para la derivación intuitiva (heurística) de la ecuación de Schrödinger, se recurrió a una función de onda de materia que suponía, al igual que como se empezó a hacerlo desde los mismos orígenes de la Mecánica Cuántica con la relación de De Broglie p = h/λ, un momentum conocido en forma precisa para una partícula libre. La función de onda ideal para tales efectos, en función de la coordenada de la posición y de la variable del tiempo, es la siguiente función que podemos visualizar con la ayuda de la identidad de Euler como una onda senoidal de amplitud A que se extiende sin fin en ambas direcciones de la coordenada de referencia (tanto la dirección positiva como la dirección negativa):


En tres dimensiones, la función de onda puede ser expresada utilizando el producto punto entre el vector tridimensional Cartesiano x para la posición y el número de onda k también tridimensional:


Pero esta descripción matemática de la onda de materia llegó a un costo: al suponer que el momentum de la onda de materia es conocido en forma precisa, no tenemos entonces ni siquiera la más remota idea del lugar en donde pueda considerarse localizada la partícula a lo largo de un eje coordenado, ya que la onda se extiende infinitamente en ambas direcciones. Esto era de esperarse, de acuerdo al principio de incertidumbre de Heisenberg, que nos confirma que no es posible asignarle a una onda de materia un momentum exacto sin que se pierda por completo el conocimiento de la localización exacta de la onda de materia. Esta función de onda senoidal de cualquier modo resultó sumamente útil para resolver problemas tales como el de una partícula encerrada en una caja, el problema del oscilador harmónico simple, y los problemas que corresponden a la transmisión y reflexión de partículas. Sin embargo, llega un momento en el que inevitablemente necesitamos de otra función de onda que nos permita darle a una onda de materia cierta localización en el espacio (en lugar de algo que se extiende hacia el infinito en ambas direcciones) a costa de perder la precisión que teníamos acerca del conocimiento exacto de su momentum. La pérdida de precisión en nuestro conocimiento del momentum será inevitable si queremos ubicar a la onda de materia dentro de cierta región del espacio en que se mueve, en este sentido el principio de incertidumbre es inescapable. Para poder ubicar una onda de materia en el espacio aceptando cierta incertidumbre en lugar de un conocimiento preciso, podemos sumar una cantidad enorme de ondas elementales con frecuencias ligeramente diferentes (o lo que es lo mismo, con longitudes de onda λ ligeramente diferentes, o lo que es lo mismo, con números de onda k ligeramente diferentes, o lo que es lo mismo, con momentums ligeramente diferentes en base a la relación p = ħk, efectuando lo que viene siendo un proceso de integración matemática), y por el principio de superposición podemos construír así un paquete de onda, y de este modo, la onda de materia, representada como un “paquete” de onda viajera, puede darnos una imagen borrosa de una partícula que se mueve de un punto a otro.

Lo anterior, desde luego, nos lleva a suponer en la posibilidad de que podamos ir por un camino opuesto al camino por el cual habíamos empezado, que consiste en buscar una función de onda que nos represente a la onda de materia con una precisión casi absoluta en lo que concierne a su posición, pero a expensas de terminar sin la más remota idea de cuál pueda ser su momentum. Para esto, necesitamos una función de onda que sea una función no de la coordenada de la posición sino de otra cantidad ligada intrínsecamente al momentum, y la cantidad más obvia que se nos viene a la mente es el número de onda k, habido el hecho de que puesto que p = h/λ = ħk, siendo ħ una constante física universal entonces el utilizar a k como nuestra vara de medir es sinónimo de estar midiendo todo en base al momentum. Tomaremos como el principio de nuestra función de onda en el espacio-k para una partícula libre a la siguiente función que en realidad es la misma que la que teníamos al principio con la diferencia de que intentaremos hacer eventualmente a nuestra variable de uso el número de onda k y no la posición, enfatizando tal hecho con un subscripto puesto en el símbolo de Ψ:


En pocas palabras, en lugar de considerar a k fija y a la posición como variable, nos moveremos en el sentido contrario, considerando fija a la variable posición y considerando a k como variable. En el caso de una onda tridimensional, la función de onda puede escribirse del siguiente modo:


Puesto que la observable momentum p en tres dimensiones está relacionada de una manera sencilla y directa con el número de onda (también tridimensional) k a través de la constante reducida de Planck:


podemos escribir la función de onda en el espacio-momentum para una partícula libre de la siguiente manera:


En realidad, puesto que la constante reducida de Planck es una simple constante numérica que así como se le asignó cierto valor numérico en un sistema de unidades igualmente se le pudo haber asignado un valor numérico igual a la unidad en otro sistema de unidades, hablar de una función de onda en el espacio-k es esencialmente lo mismo que hablar de la misma función de onda en el espacio-momentum. El espacio-k y el espacio-momentum son sinónimos, por así decirlo.

El lector podrá darse cuenta de que se ha introducido una constante que le dá cierto valor específico a la amplitud A de la función de onda, lo cual tal vez pueda parecer desconcertante si se le toma como una constante de normalización. No lo es. En rigor de verdad, una onda senoidal que se extiende hacia el infinito en ambas direcciones no puede ser normalizada, ya que no existe constante alguna A que pueda hacer cumplir la siguiente condición de normalización para una función de onda senoidal ó cosenoidal:


¿Entonces cuál es el propósito de la constante numérica que ha sido introducida, si no es una constante de normalización? Esta constante resultará relevante para poder obtener la función de onda Ψ(k) en el espacio momentum cuando tenemos una expresión para la función de onda en el espacio posición Ψ(x).

La introducción de la función de onda Ψ(k) complementa algo que nos estaba faltando. De este modo, usada conjuntamente con la función de onda Ψ(x), nos puede proporcionar información adicional que podemos usar a nuestra conveniencia.

Una vez que hemos aceptado esta simbolización para una función de onda en el espacio-k, invariablemente surgen otras preguntas. ¿Cuál será la ecuación de onda de Schrödinger que corresponda a una onda de materia descrita por Ψ(k)? Anteriormente, al utilizar a Ψ(x), habíamos encontrado que podíamos evaluar esperanzas matemáticas, cantidades susceptibles de ser medidas en experimentos de laboratorio, usando operadores tales como:


Podemos sospechar, y de hecho será inevitable, que en el espacio-momentum tendremos cosas parecidas, quizá con cambios de signo. Por lo pronto, este operador, con todo y que es un operador diferencial del momentum, ya no nos servirá de nada cuando estemos trabajando dentro del espacio-k, porque fue definido dentro del espacio-posición. ¿Cuál es entonces el operador que lo reemplaza? Y no sólo tenemos que reemplazar nuestros operadores, tenemos también que redefinir las esperanzas matemáticas que habíamos definido previamente. Quizá la pregunta más importante que nos podamos formular es: ¿cómo podemos pasar de una representación a otra? ¿Cómo podemos tomar algo que está especificado en el espacio-posición trasladándolo al espacio-momentum, y viceversa? Interesantemente, la respuesta matemática a esta última pregunta de hecho ya la tenemos a la mano. El camino para pasar del espacio-posición al espacio-momentum (y viceversa) implica echar mano de las transformadas de Fourier:


Al utilizar estas transformaciones, es importante destacar que mientras que la coordenada espacial x se mide en metros, la coordenada número de onda k se mide en (metros) -1. Clásicamente, en otras áreas como la ingeniería electrónica, la transformada de Fourier se utiliza para transformar una función f(t) del dominio tiempo, medido en segundos, al dominio frecuencia g(ω), medido en radianes (o ciclos angulares) por segundo, o sea en unidades de (segundo) -1; mientras que la transformada inversa de Fourier se utiliza para transformar una función especificada en el dominio frecuencia a su equivalente en el dominio tiempo. En el caso que nos ocupa, las transformadas de Fourier no son aplicadas en el ámbito temporal sino en el ámbito espacial, y esta es una diferencia importante que debe tenerse en mente todo el tiempo.

La transformada de Fourier y la transformada inversa de Fourier dadas arriba para pasar del espacio-x al espacio-k y viceversa son válidas para una sola dimensión. En el caso de un espacio tridimensional r(x,y,z) al que corresponde un número de onda k tridimensional cuyas componentes vectoriales respectivas son:

k = (kx, ky, kz)

las transformadas de Fourier para la transformación de un espacio a otro en tres dimensiones vienen siendo las siguientes:


siendo:

dk = dkx · dky · dkz

dr = dx · dy · dz

La función Ψ(x) es la transformada de Fourier de la función Ψ(k), así como la función Ψ(k) es la transformada de Fourier de la función Ψ(x). Si se conoce una de ellas, podemos obtener la otra. Un resultado del análisis de Fourier clásico es que el producto de las incertidumbres Δx y Δk toma su valor mínimo cuando Ψ(x) es una función normal (Gaussiana), en cuyo caso la función Ψ(k) también resulta ser una función Gaussiana.

Al tomar la función de onda Ψx de una partícula libre en el espacio-posición para interpretarla como Ψp en el espacio-momentum en la forma en que lo hicimos al principio, estamos haciendo esencialmente lo mismo que lo que haríamos con una función matemática como la siguiente:

f(x, t) = ax + bt

en donde x y t son variables y a y b son constantes. Si en vez de permitir que x varíe lo mantenemos fijo (constante) y en lugar de ello hacemos que a sea la variable, entonces la misma función matemática dependerá ahora de la variación de a y t, o sea que vendrá siendo:

f(a, t) = ax + bt

Recordaremos que, para poder construír un paquete de onda, lo cual se hizo en entradas anteriores en el espacio-posición, lo logramos sumando una enorme cantidad de ondas de frecuencias ligeramente distintas. Considerando a cada una de las ondas usadas para la construcción del paquete de onda como una onda de frecuencia bien definida, o lo que es lo mismo, con momentum bien definido (de acuerdo a la relación de De Broglie), esto nos puede llevar a sospechar que debe ser posible construír un paquete de onda en el espacio-momentum utilizando para ello una enorme cantidad de ondas no con valores ligeramente distintos en sus frecuencias sino con valores ligeramente distintos en su posición. En pocas palabras, así como hemos podido construír un paquete de onda en el espacio-posición, también debe ser posible construír un paquete de onda en el espacio-momentum. Y encima de esto, hacer que ambas representaciones se correspondan una con otra. Y así es, en efecto. Y el recurso matemático para lograr tal cosa es el mismo de siempre, la transformada de Fourier.

Ya hemos visto que lo que realmente nos importa de la función de onda Ψ no es tanto la función de onda en sí misma sino el cuadrado de la función de onda, definido como Ψ*Ψ, que nos dá la densidad de la probabilidad de encontrar a la partícula en cierta región del espacio-x (o bien, extendiendo el concepto, del espacio-k). De este modo, si tomamos un paquete de onda Gaussiano Ψ(x) entonces |Ψ(x)|² tendrá el siguiente aspecto como nos lo muestra la segunda figura derivada de la primera:




El espacio-x y el espacio-k son, en cierta forma, complementarios. Son dos formas distintas de ver una misma cosa. Y en cierta forma, uno es el inverso del otro. Por ello no debe extrañarnos el que la condición de normalización en el espacio-k sea la misma como la que se ha estado utilizando previamente para el espacio-x:


Las funciones de distribución (densidad de probabilidad) para la posición y el momentum de un electrón en una dimensión, considerado como un “paquete de onda” Gaussiano, presentan un aspecto como el siguiente:




Si consideramos que el área debajo de cada una de las dos curvas de arriba, una vez normalizadas ambas con el fin de poder darles una interpretación probabilista, debe ser igual a 1, el producto de las incertidumbres Δx en la posición de la partícula y Δk en el número de onda (momentum) de la partícula será del orden de la unidad (1). Prescindiendo de las interpretaciones físicas, se puede demostrar que las desviaciones estándard σ de dos distribuciones Gaussianas normales que correspondan a dos funciones que son la transformada de Fourier la una de la otra estarán relacionadas de la siguiente manera:

σ1σ2 = 1/2

Si definimos a la desviación estándard σ1 como Δx y a la desviación estándard σ2 como Δk = Δp/ħ, entonces el valor mínimo del producto de ambas desviaciones estándard viene siendo:

Δx·Δk = (1/2)

Δx·Δp/ħ = (1/2)

Δx·Δp = ħ/2

¡Este es precisamente el principio de incertidumbre de Heisenberg! Pero aquí llegamos a dicho principio mediante una ruta puramente matemática. El único requerimiento para obtener este resultado es el postular una naturaleza ondulatoria en las funciones matemáticas de base. Con el solo hecho de suponer que algo pueda ser representado matemáticamente como una onda, el principio de incertidumbre aparece de manera casi automática como un hecho inescapable de la Naturaleza. Esto nos lleva a suponer que estamos ante algo fundamental, de índole puramente matemática, quizá más fundamental que la misma “extraña ecuación” de Max Born. En las matemáticas puras y en la teoría moderna de las comunicaciones, la relación básica es conocida como el teorema del ancho de banda, dos de cuyas expresiones son:


Esto, en lo que concierne al producto mínimo de dos desviaciones estándard.

Tenemos entonces ante nosotros un panorama más amplio en el cual empezamos con una función de onda con la cual conocemos en forma precisa el momentum de la partícula representada con dicha función de onda, pero a costa de ignorar por completo la posición en la cual pueda ser ubicada la partícula. Si modificamos la función de onda de manera tal que aceptemos una indeterminación Δk en el momentum de la partícula a cambio de lograr un mayor conocimiento con respecto a la posible ubicación de la misma, entonces esto implica la construcción de un paquete de onda con una indeterminación Δx. A medida que vamos cerrando la indeterminación Δx en la posición de la partícula, la indeterminación Δk en su momentum va aumentando hasta que los papeles se invierten, y eventualmente llega el momento en el que tenemos a la partícula perfectamente ubicada pero desconociendo por completo su momentum. Podemos imaginar una secuencia como la siguiente en la cual vamos sacrificando gradualmente nuestro conocimiento sobre el momentum de la partícula a cambio de obtener mayor información sobre su posición:

Momentum conocido, posición desconocida:




Incertidumbre en el momentum, menor incertidumbre en la posición:





Mayor incertidumbre en el momentum, menor incertidumbre en la posición:




Buen conocimiento de la posición, gran incertidumbre en el conocimiento del momentum:




Momentum desconocido, posición conocida:




En todo momento, el principio de incertidumbre está en control absoluto de la situación. No es posible obtener una mayor precisión en el conocimiento absoluto de una de las variables sin perder precisión en nuestro conocimiento de la otra variable.

Para trabajar en el espacio-momentum, hemos estado trabajando con la constante de propagación k explotando el hecho de que la constante de propagación k es sinónimo con el momentum de la partícula a través de la constante multiplicativa ħ. Así es como muchos textos manejan ambas equivalencias entre el espacio-posición y el espacio-momentum. Sin embargo, para muchos otros autores resulta más “natural” trabajar con una representación en el espacio-momentum en la que aparezca no el número de onda k sino el momentum p de la partícula. En tal caso, el camino para pasar del espacio-posición al espacio-momentum (y viceversa) implica echar mano de las siguientes transformadas de Fourier:


Obsérvese la aparición de la constante ħ en los factores de normalización para ambas interpretaciones.

De este modo, cuando escribimos una función de onda como Ψ(x), estamos expresando dicha función de onda en el espacio-posición. Y cuando escribimos una función de onda como Ψ(p), estamos expresando dicha función de onda en el espacio-momentum.

En el caso de un espacio tridimensional r(x,y,z) al que corresponde un momentum tridimensional p cuyas componentes vectoriales respectivas son:

p = (px, py, pz)

las transformadas de Fourier para la transformación de un espacio a otro en tres dimensiones vienen siendo las siguientes:


siendo:

dp = dpx · dpy · dpz

PROBLEMA: (a) En una representación-momentum,¿de qué variables depende la función de onda? (b) ¿Qué significado físico se le puede adjudicar al valor absoluto de esta función de onda? Supóngase que el sistema está compuesto por una sola partícula (sin spin).

(a) En una representación-momentum, la función de onda es una función de las variables momentum a lo largo del sistema de ejes ortogonales que esté siendo utilizado.

__En coordenadas polares: ψ(pr, pθ)

__En coordenadas Cartesianas: ψ(px, py, pz)

__En coordenadas esféricas: ψ(pr, pθ, pφ)

__En coordenadas cilíndricas: ψ(pr, pφ, pz)

(b) Si por el valor absoluto de una función de onda Ψ(p) expresada en el espacio-momentum (en tres dimensiones) entendemos lo siguiente:

|Ψ(p)|² = Ψ(p)*Ψ(p)

entonces el significado físico que le podemos dar a esta expresión es el de la probabilidad por unidad de volumen en el espacio-momentum de que la partícula posea cierto momentum.

PROBLEMA: Dada la siguiente función de onda expresada en el espacio-posición:


obténgase la misma función de onda expresada en el espacio-momentum.

La solución de este problema procede en forma directa recurriendo a la transformada de Fourier:


Lo que sigue es meramente desarrollo matemático sin conceptos físicos nuevos:







Para darnos una idea aproximada del aspecto de esta función de onda Ψ(p), a continuación se presenta una gráfica de la función usando el valor numérico de 0.1 en el numerador y el valor numérico de 4 en donde aparece la primera constante en el denominador:




Si hemos de dar una interpretación física a la gráfica, ésta nos dice que hay tantas probabilidades de encontrar a la partícula moviéndose hacia la derecha (en virtud del momentum positivo que pueda tener) como de encontrarla moviéndose hacia la izquierda (en virtud del momentum negativo que pueda tener), con lo cual la esperanza matemática del momentum de la partícula <p> será igual a cero.

Anteriormente, habíamos visto que para la resolución de un problema mecánico-cuántico mediante la ecuación de Schrödinger en el espacio-posición al tratar tanto a la posición x como al momentum p como operadores en realidad el único cambio relevante consistía en reemplazar al momentum p por un operador diferencial. Pero si trabajamos en el espacio-momentum, ¿cómo cambian las cosas? Interesantemente, al igual que en las transformaciones de Fourier requeridas para convertir una función de onda del espacio-posición al espacio-momentum y viceversa, existe una simetría completa que se mantiene en todo lo demás incluyendo los operadores mismos, lo cual se vuelve más obvio poniendo la prescripción de los operadores en cada esquema (los sub-índices utilizados son una referencia clara y directa a coordenadas Cartesianas rectangulares en el espacio tridimensional):




Obsérvese que el operador vectorial diferencial del o nabla (en coordenadas Cartesianas rectangulares) utilizado en el espacio-posición:


es diferente del operador vectorial diferencial utilizado en el espacio-momentum que es:


y ésta es la razón por la cual se le ha puesto un sub-índice al operador que corresponde al espacio-momentum.

Si se requiere por alguna razón trabajar no en coordenadas rectangulares Cartesianas sino en coordenadas curvilíneas (por ejemplo, coordenadas esféricas), la transcripción de la función de onda del espacio-posición al espacio-momentum o viceversa siempre se debe llevar a cabo utilizando coordenadas rectangulares Cartesianas, y tras esto se puede efectuar el cambio a las coordenadas curvilíneas.

PROBLEMA: Expresar los operadores diferenciales del momento angular Lx, Ly y Lz en el espacio-momentum.

Para obtener los operadores pedidos, tomamos como punto de partida las definiciones clásicas del momento angular:


Substituyendo las variables clásicas por los operadores diferenciales en el espacio-momentum de acuerdo con las definiciones dadas arriba y simplificando, obtendremos los tres operadores deseados del momento angular en el espacio-momentum:


Vale la pena comparar el operador vectorial momentum P en el espacio posición con el operador vectorial posición r en el espacio momentum:


PROBLEMA: Demuéstrese que, en una representación en el espacio momentum, las eigenfunciones de energía para el oscilador armónico simple unidimensional se pueden escribir de la siguiente manera:


Para el oscilador armónico simple, el operador de energía Hamiltoniano H es el mismo que hemos venido manejando anteriormente fundamentado en el Hamiltoniano clásico:


para expresar este operador de energía en el espacio momentum, los reemplazos operacionales que se deben hacer son los siguientes:


Entonces el operador H, expresado en el espacio momentum, es:


La eigen-ecuación general de Schrödinger en el espacio momentum sobre una eigenfunción de onda Φn(p) en el caso de un estado estacionario n es:


Substituyendo en esta expresión la relación para el Hamiltoniano en el espacio momentum se tiene:


Si resolvemos esta ecuación diferencial de segundo orden, obtendremos las eigenfunciones de energía para el oscilador armónico simple en el espacio momentum. Pero esto no es lo que nos pide el enunciado del problema. El propósito es demostrar que, dada una eigenfunción para cualquiera de los estados estacionarios del oscilador armónico simple, podemos obtener la eigenfunción en el espacio momentum tomando como punto de partida la eigenfunción de onda ψn(x) en el espacio posición y llevando a cabo la substitución:


para obtener la eigenfunción de onda correspondiente Φn(p) en el mismo estado estacionario pero en el espacio momentum. Empezaremos, por lo tanto, trabajando sobre la ecuación diferencial cuántica para el oscilador armónico simple en el espacio-posición, la cual ya se ha visto con anterioridad que es:


Como primera prioridad, simplificaremos lo más posible esta ecuación reduciéndola a una forma adimensional liberándola de las constantes físicas. Aunque el remedio más expedito sería hacer todas las constantes físicas (la masa m, la constante reducida de Planck ħ, la constante del resorte k) iguales a la unidad, esto tendría el efecto de perderles la pista volviendo confuso el restablecimiento de dichas constantes en la solución final del problema. En lugar de ello, empezaremos mejor por “limpiar” el término diferencial de segundo orden reacomodando todo para que quede de la siguiente manera (emplearemos notación de derivadas ordinarias aquí al resultar superflua e innecesaria la notación de derivadas parciales):


Manteniéndonos aún dentro del espacio posición, necesitamos hacer un cambio de variable con la nueva variable relacionada con la anterior de modo tal que la nueva variable “absorba” las constantes físicas. Esto lo podemos lograr fijándonos bien en los primeros dos términos de esta ecuación, notando que en el primer término tenemos la inversa del cuadrático de la variable que vamos a substituír, mientras que en el segundo término aparece no-invertido el cuadrático de la misma variable. Dimensionalmente hablando, se busca entonces algo que relacione los coeficientes de ambos términos (el primer término ya está liberado de coeficientes mientras que el segundo término tiene como coeficiente a mk/ħ2), esto es:


Esto es precisamente lo que necesitamos. Aquí conviene recordar que para cierto estado estacionario n del oscilador armónico simple la eigenfunción de onda que le corresponde está dada por la siguiente relación (¡no se confunda el símbolo general Hn que representa polinomios de Hermite con el símbolo H que hemos usado arriba para representar al operador Hamiltoniano de energía!):


Para obtenerse la ecuación adimensional liberada de las constantes físicas en todas y cada una de las eigenfunciones de onda, deberá llevarse a cabo el siguiente cambio de variable:


Por diferenciación ordinaria para determinar dψ/dx, de esto último obtenemos lo siguiente:


Tomando una nueva diferenciación para obtener d2ψ/dx2, después de los siguientes pasos se tiene:


Substituyendo tanto x2 como d2ψ/dx2 en la ecuación diferencial que queremos reducir a una forma adimensional, se tiene lo siguiente:


Aquí tenemos ya a la ecuación diferencial en función de la nueva variable. Dividiendo todo entre el coeficiente del primer término para “limpiarlo” dejándolo sin coeficiente y simplificando sucesivamente, vemos que:


Haciendo λ.=.2En/ħω, llegamos finalmente a la ecuación adimensional que estábamos buscando desde un principio (seguimos trabajando dentro del espacio posición):


Lo mismo que hemos hecho para el oscilador armónico simple cuántico reduciendo la ecuación diferencial del mismo en el espacio posición a esta forma adimensional lo podemos hacer con la ecuación diferencial correspondiente en el espacio momentum que tenemos arriba, esto es, empezando con:


podemos “limpiar” el término d2Φ/dp2 de su coeficiente para tener ante nosotros la siguiente ecuación:


Podemos también reducir esta eigenecuación de onda en el espacio momentum a una forma adimensional repitiendo los mismos pasos que empleamos para hacer tal cosa en el espacio posición. Pero un momento de reflexión nos revela que tal cosa es innecesaria, ya que para la solución de este problema basta con establecer comparaciones entre ambas ecuaciones diferenciales (la que corresponde al espacio posición y la que corresponde al espacio momentum) y tomando en cuenta el hecho de que ambas son iguales en forma obtener no sólo el “factor” requerido para reducir la ecuación diferencial en el espacio momentum a una forma adimensional, sino para obtener también la relación que debe de haber entre la variable posición en el espacio posición y la variable momentum en el espacio momentum a partir de la igualdad que debe de haber en los “factores” de adimensionalidad: 


Esta es precisamente la substitución que tenemos que hacer para escribir una eigenfunción Φn(p) del oscilador armónico simple en el espacio momentum a partir de la eigenfunción correspondiente ψn(x) en el espacio posición.

Retomaremos ahora un asunto planteado al principio: si hay una ecuación (diferencial) de onda de Schrödinger con la cual hemos estado trabajando, válida para el espacio-posición, ¿cuál será la ecuación de onda que le corresponda en el espacio-momentum? ¿Cómo la podemos obtener? La respuesta a esta última pregunta es la que nos dá la clave: aplicamos la transformada de Fourier para llevar la ecuación de onda del espacio-posición al espacio-momentum, o en pocas palabras, recurrimos a la transformada de Fourier para obtener Ψ(px) (que de aquí en delante identificaremos simplemente como Ψ(p) ) a partir de Ψ(x). Antes de hacer tal cosa podemos, si así lo deseamos, resolver para la función de onda en el espacio-posición, obteniendo primero Ψ(x,t) de la solución de la ecuación diferencial de Schrödinger dependiente del tiempo:


Habiendo obtenido Ψ(x,t), obtenemos entonces a partir de esta función de onda su equivalente Ψ(p,t) en el espacio-momentum mediante la aplicación de la transformada de Fourier:


Esta es una forma de lograrlo. Pero si así lo deseamos, podemos también recurrir a una ecuación de onda de Schrödinger en el espacio-momentum, y resolver directamente para Ψ(p,t), lo cual requiere que obtengamos la ecuación de onda de Schrödinger en el espacio-momentum. Para ello, tomamos la ecuación de onda de Schrödinger y la multiplicamos en ambos lados por:


llevando a cabo la integración sobre el diferencial dx teniendo lo siguiente:


En el lado derecho el orden de la integración y la diferenciación con respecto al tiempo puede ser intercambiado, permitiéndonos sacar fuera del signo integral la diferenciación parcial con respecto a la variable tiempo (la derivada temporal), con lo cual:


Por otro lado, podemos escribir el término de la derivada espacial de la siguiente manera:


En este último desarrollo se ha llevado a cabo una doble integración por partes con la finalidad de meter las derivadas dentro del término exponencial. Esto nos deja pendiente el problema de la función para la energía potencial V(x) que está expresada en el espacio-posición. Para poder llevar a cabo la transformación de esta función hacia el espacio-momentum, podemos llevar a cabo una expansión en series de Taylor que nos producen el siguiente resultado:


Para la expansión en serie de potencias de Taylor podemos utilizar la siguiente simplificación intermedia:


Obsérverse que en este último desarrollo hemos hecho un cambio substituyendo a la variable posición por el operador posición tal y como se ha definido previamente:


con lo cual la función potencial no será ya simplemente una función de la variable posición sino del operador posición. Obsérvese también cómo pudimos sacar primero el operador diferencial exponencial fuera del signo integral en virtud de que la integración se lleva a cabo no con respecto a la variable del momentum sino con respecto a la variable de la posición. Y la integración posterior llevada a cabo nos convierte la función de onda Ψ(x) a Ψ(p). Con esto, el término para la función de la energía potencial se puede escribir de la siguiente manera:


Juntándolo todo, podemos escribir la ecuación de onda de Schrödinger dependiente del tiempo en el espacio-momentum de la siguiente manera:


Podemos usar esta ecuación de onda de inmediato para obtener una solución para el caso de una partícula libre viajera, para la cual consideramos que la función de energía potencial tiene un valor V(x) = 0. En este caso la ecuación se reduce a lo siguiente:


Esta ecuación puede ser resuelta de inmediato llevando a cabo la integración con respecto al tiempo, obteniéndose así:


Este resultado es interesante porque nos dice que conforme t→∞ entonces:

Ψ(p, t) → Ψ0(p)

En pocas palabras, conforme va transcurriendo el tiempo la incertidumbre en el momentum irá disminuyendo. Esto es precisamente lo contrario a lo que sucede con la función de onda en el espacio-posición para la cual tenemos un incremento en la incertidumbre de la posición de la partícula conforme el tiempo va transcurriendo. De este modo, una mayor incertidumbre en la posición de la partícula es compensada con una menor incertidumbre en su momentum, pero de modo tal que el producto de ambas incertidumbre se mantiene en obediencia total al principio de incertidumbre de Heisenberg.

Al igual que como lo hicimos con la ecuación de onda de Schrödinger en el espacio-posición cuando aplicamos el método de la separación de variables para “romper” la función de onda en el producto de dos funciones de onda, una dependiente del tiempo y la otra independiente del tiempo:

Ψ(x, t) = f(t) ψ(x)

podemos hacer también lo mismo en el caso de la ecuación de onda de Schrödinger en el espacio-momentum, obteniendo lo siguiente:

Ψ(p, t) = f(t) ψ(p)

Si hacemos esto, obtenemos entonces lo siguiente:


y obtenemos así con ello la ecuación de onda de Schrödinger en el espacio-momentum independiente del tiempo:


Compárese y obsérvese la simetría que hay entre esta ecuación de onda en el espacio-momentum y la ecuación de onda en el espacio-posición.

Como hemos visto, el problema de la partícula libre viajera se vuelve un problema relativamente sencillo de resolver con la ecuación de onda de Schrödinger en el espacio-momentum en virtud de que la función potencial V(x) es igual a cero. Sin embargo, cuando la función potencial V(x) no es igual a cero, muchos problemas que eran relativamente sencillos de resolver mediante la ecuación de onda de Schrödinger en el espacio-posición se convierten en problemas relativamente complicados de resolver mediante la ecuación de onda de Schrödinger en el espacio-momentum. Esta es una de las curiosidades que fueron descubiertas por los creadores de la Mecánica Cuántica, el hecho de que los problemas que tienen que ver con estados ligados, partículas atrapadas en algún pozo de potencial, son más fáciles de resolver con la ecuación de onda de Schrödinger en el espacio-posición, mientras que los problemas que tienen que ver con partículas libres (como en el caso de la dispersión de partículas al acercarse a un potencial repulsivo o el caso de partículas en colisión) son más fáciles de resolver con la ecuación de onda de Schrödinger en el espacio-momentum. De este modo, cada tipo de espacio tiene su propio lugar dentro de la Mecánica Cuántica.

Si insistimos en tratar de utilizar la ecuación de onda de Schrödinger en el espacio-momentum para resolver problemas en los cuales tenemos alguna función potencial sencilla como V(x) = x², la necesidad de tener que transformar dicha función potencial al espacio-momentum (mediante una transformada de Fourier) nos puede llevar inevitablemente no a una ecuación diferencial sino a una ecuación integral, más específicamente, una ecuación integral de la clase de ecuaciones conocidas como Fredholm. En ese tipo de ecuaciones, en lugar de buscar una función matemática que sea una solución a una ecuación diferencial, de lo que se trata es de buscar una función matemática que sea una solución a una ecuación de tipo integral, en donde la función desconocida a ser determinada aparece bajo el signo de la integral. Exceptuando problemas sencillos, la solución de este tipo de ecuaciones está repleta de problemas mayúsculos, siendo difícil el poder obtener una solución analítica exacta en la mayoría de las ocasiones. Esta es una de las razones por las cuales incluso en textos avanzados de Mecánica Cuántica se evita mencionar el tema de la ecuación de Schrödinger en el espacio momentum, máxime cuando se puede obtener mucha información importante trabajando en el espacio posición. Resulta curioso que, irónicamente, las ecuaciones integrales de tipo Fredholm se prestan a la evaluación de las mismas mediante técnicas numéricas llevadas a cabo mediante una computadora.

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