martes, 11 de agosto de 2009

Ondas de simetría circular y esférica

Los problemas que hemos visto con anterioridad han podido ser resueltos recurriendo exclusivamente al uso de coordenadas rectangulares Cartesianas. Pero hay otros problemas en los cuales la solución de los mismos mediante coordenadas Cartesianas se vuelve un asunto difícil, obligándonos a recurrir a otro tipo de coordenadas para poder llevar a cabo la resolución de los mismos. Una clase importante de problemas de este tipo son los problemas que exhiben un tipo de simetría que puede ser circular o esférica, cuyo análisis veremos a continuación. El primero que estudiaremos será el del rotor rígido (conocido esporádicamente también como el rotador rígido). Este problema es interesante porque nos permite introducir el concepto del momento angular como un operador mecánico cuántico.

Clásicamente, la energía cinética de un cuerpo moviéndose siempre en línea recta en una misma dirección está dada por la relación Elineal = mv²/2. Puesto que el momentum clásico es igual al producto de la masa por la velocidad, P = mv, el momentuml lineal está relacionado con la energía mediante la fórmula Elineal = P²/2m.

Por otro lado, si tenemos dos masas iguales conectadas con una vara rígida a las cuales se les imprime una rotación en torno al centro geométrico de las masas dándoles una velocidad angular ω, en analogía con el concepto Newtoniano de la masa que identifica a la masa inercial como “la oposición que presenta un cuerpo a ser acelerado linealmente”, para movimientos angulares podemos definir una especie “inercia angular” a la cual llamamos el momento de inercia simbolizándolo como I. Y del mismo modo en que la velocidad a lo largo de una línea recta proporciona a un cuerpo una energía de movimiento igual a mv²/2, la velocidad angular proporciona a un cuerpo girando en torno a una órbita circular una energía rotacional igual a Erot = Iω²/2. Y si el momentum lineal P está relacionado con la energía cinética de movimiento lineal Elineal mediante la relación Elineal = P²/2m, entonces debe ser posible definir una cantidad llamada momentum angular de dicho sistema de masas que podemos simbolizar como L que debe ser igual al producto de la “inercia angular” I por la velocidad angular ω, o sea:

L = Iω

Despejando ω de esta definición y substituyéndola en nuestra definición para la energía rotacional, tenemos entonces la siguiente relación que nos conecta a la energía rotacional con el momentum angular:

Erot = [I(L/I)²]/2 = L²/2I

Comparemos ahora las dos expresiones clásicas que nos conectan a la energía con el momentum:

Elineal = P²/2m

Erot = L²/2I

Si nos fue posible redefinir a P como un operador mecánico-cuántico de la siguiente manera:


entonces comparando las relaciones que tenemos arriba para y para nos debe ser posible definir tentativamente un operador para el momentum angular de la siguiente manera:


Debemos considerar desde ahora que esta relación debe tener una importancia extraordinaria para nosotros porque en la misma estructura que sostiene al edificio matemático de la Mecánica Cuántica subyace el principio más fundamental de todos, la cuantización del momento angular.

Teniendo a la mano una definición para el operador momento angular L, en analogía con la expresión que ya teníamos para el operador diferencial H en la ecuación de Schrödinger:


podemos escribir la expresión que correspondería a una partícula cuya energía está descrita por un movimiento angular. El operador requerido tiene que ser necesariamente el siguiente:


La definición que debemos dar al momento de inercia I de un sistema de partículas que va a ser sometida a un movimiento angular en torno a su centro de masa geométrico es la misma que la que le damos clásicamente, o sea:

I = Σ mk rk²

siendo rk la distancia de cada partícula de masa mk al centro de masa del sistema de partículas. Para un sistema de dos partículas, esta expresión adquiere la mayor simplicidad posible, y es precisamente la que describe el caso del rotor rígido.

PROBLEMA: Escríbase la ecuación de Schrödinger que corresponde a un rotor rígido de dos partículas que consta de dos masas puntuales iguales M mantenidas separadas a una distancia constante por una vara rígida, el cual sufre una rotación alrededor de su centro de masa a una velocidad angular constante ω. Despreciando los efectos que puedan involucrar un estiramiento de la vara rígida que conecta a las dos masas puntuales, determínense los valores de energía permisibles en este sistema así como las funciones eigen.




Las energías del rotor rígido están cuantizadas y están dadas por la siguiente relación:



PROBLEMA: El rotor rígido de dos partículas sufre una rotación alrededor de su centro de masa a una velocidad angular constante ω. Usando las coordenadas que más convenga utilizar, escríbase el operador Hamiltoniano H que debe ser utilizado en la ecuación de Schrödinger para la determinación de los valores eigen de energía del sistema así como las eigenfunciones asociadas. Supóngase que la distancia entre las partículas permanece invariable s.

El caso más sencillo es aquél en el cual el rotor consta de dos partículas de masas iguales:












PROBLEMA: Resuélvase la ecuación de Schrodinger independiente del tiempo encontrando las eigenfunciones y los valores permisibles para la energía de una partícula confinada a una región bidimensional acotada por una frontera circular r = a. Supóngase que el potencial dentro de la región es igual a cero y que fuera de la región es infinitamente grande.

Si el potencial dentro de la región bidimensional es igual a cero, entonces la partícula no experimente fuerzas al moverse de un lado a otro dentro de la región. La naturaleza del problema es tal que no resulta conveniente trabajar en coordenadas rectangulares Cartesianas, y dada la simetría del problema lo más conveniente es recurir a coordenadas polares, Esto significa que la función de onda estará expresada en función de estas dos coordenadas:

ψ = ψ(r, θ)

Al estar el espacio dentro de la región descrito mediante coordenadas polares (r,θ), esto implica que habrá dos números cuánticos diferentes requeridos para la especificación de cualquier función de onda dentro de la caja esférica. Si vamos a utilizar coordenadas polares, entonces tenemos que reformular la ecuación de onda de Schrodinger independiente del tiempo con el Laplaciano especificado no en coordenadas rectangulares Cartesianas sino en coordenadas polares. El operador ∇ (nabla) en coordenadas polares está dado por la relación:


El operador aplicado a una función de onda ψ es entonces:





Para encontrar las soluciones posibles a esta ecuación, recurrimos a la técnica matemática de separación de variables. De este modo, la función de onda ψ(r, θ) será igual al producto de una parte radial R(r) y una parte angular Θ(θ):

ψ(r, θ) = R(r)Θ(θ)

Al igual que como ocurrió con el ejemplo de una partícula moviéndose unidimensionalmente dentro de una caja en la introducción dada a la ecuación de Schrödinger, radialmente no puede haber de un extremo a otro del límite circular (a través de una linea imaginaria pasando por el centro del círculo) más que múltiplos de medias longitudes de onda. Pero también podemos tener modos de vibración concéntricos en torno al centro del círculo, a lo largo de trayectorias circulares concéntricas, en donde tampoco puede haber más que múltiplos de longitudes de onda, y estos ya no pueden ser múltiplos de medias longitudes de onda sino que tienen que ser múltiplos de una onda completa como podemos verlo en la siguiente figura:


Este problema es esencialmente el mismo que el problema de las vibraciones posibles en una membrana circular como las que puedan ocurrir en la superficie de un tambor, y es un problema que ya había sido estudiado a fondo y resuelto por la mecánica ondulatoria clásica desde antes del advenimiento de la Mecánica Cuántica.

Radialmente, las ondas estacionarias que podemos tener en una membrana circular tienen el siguiente aspecto:




Pero no es el único tipo de vibración posible. También podemos tener el siguiente tipo de vibración angular:




Aunque no lo parezca, el modo ondulatorio que se acaba de mostrar es debido no a una vibración radial sino a una vibración angular debida a la componente angular de la ecuación de onda. Si permaneciendo a una distancia radial fija nos movimos angularmente desde un ángulo θ = 0° hasta un ángulo θ = 360°, o sea dando una vuelta completa regresando al punto de partida, si hay una oscilación a lo largo de la coordenada angular entonces dicha oscilación solo puede ocurrir en múltiplos enteros de longitudes de onda. Desde el punto de vista ondulatorio, entre los muchos modos combinados de vibración que podemos tener podemos contar los siguientes entre los más sencillos:





La siguiente figura nos muestra en mayor detalle lo complicado que se pueden ver las cosas:




La combinación de una oscilación simétricamente radial con otra oscilación simétricamente angular es lo que permite la complejidad necesaria para que, al ser trasladado el problema a una situación tridimensional esférica, sea posible la estructura necesaria para construír el constituyente esencial de la Naturaleza: los átomos.

PROBLEMA: Discútase el comportamiento que puede esperarse desde la perspectiva de la Mecánica Cuántica para una partícula libre encerrada dentro de una esfera hueca de radio R.

Podemos imaginarnos a la partícula encerrada en una cavidad hueca de radio R dentro de una esfera cuya pared es impenetrable para la partícula:




Considerando al potencial dentro de la caja esférica igual a cero, entonces la partícula no experimenta fuerzas al moverse de un lado a otro dentro de la caja, y si la partícula se comporta como una onda entonces las únicas ondas posibles dentro de la cavidad deben ser ondas estacionarias, múltiplos de medias longitudes de onda o de longitudes de onda completas. El punto de partida es, como siempre:

Hψ = Eψ

La naturaleza del problema es tal que no resulta conveniente trabajar en coordenadas rectangulares Cartesianas, y dada la simetría del problema lo más conveniente es recurir a coordenadas esféricas, Esto significa que la función de onda estará expresada en función de estas tres coordenadas:

ψ = ψ(r, θ,φ)

Para una partícula libre encerrada en una caja esférica, el potencial es igual a cero dentro de la caja y es infinitamente grande fuera de la misma. La condición de frontera requiere además que todas las funciones de onda estacionarias se desvanezcan en la pared de la caja. De este modo, la ecuación eigen a resolver adentro de la cavidad esférica es la siguiente:


De nuevea cuenta, para poder llevar a cabo la resolución de este problema, recurrimos a la técnica de separación de variables. El sentido común nos sugiere llevar a cabo la separación en dos partes, una componente radial y una componente angular del modo siguiente:


De este modo, la solución general puede escribirse como el producto de una función R de la coordenada radial por una armónica esférica Ylm. Igualmente, el Laplaciano debe ser expresado en coordenadas esféricas en lugar de su forma convencional en coordenadas Cartesianas rectangulares, con lo cual tenemos entonces lo siguiente:


Con esto, tras haberse efectuado la separación de variables, llegamos a la siguiente ecuación diferencial que debe ser resuelta para obtener soluciones a la ecuación de onda (se ha despejado hacia el lado derecho el factor ħ²/2m que ahora aparece como 2m/ħ²):


Lo que tenemos aquí es esencialmente una ecuación diferencial de segundo orden conocida como ecuación de Bessel. Las soluciones a esta ecuación diferencial están dadas por las funciones de Bessel. A continuación tenemos una gráfica de la función de Bessel de primera especie J0:


y la gráfica de la función de Bessel J1, también de primera especie:


En la siguiente gráfica tenemos a las tres primeras funciones de Bessel superimpuestas una sobre la otra:


Las soluciones que requerimos para la ecuación de onda dentro de la cavidad esférica vienen siendo las siguientes:


siendo A la constante de normalización para la función de onda radial, y en donde los valores posibles de la energía Enl son tales que hacen que la función de onda se anule justo en la pared interior de la cavidad esférica (la condición de frontera), es decir, cuando r = R, los cuales pueden obtenerse a partir de los ceros de la (l+1/2)-ésima función de Bessel:


Los ceros de una función de Bessel pueden ser obtenidos ya sea gráficamente (puntos rojos en las gráficas):




o con mayor precisión numérica en algún programa computacional o en cualquiera de los evaluadores numéricos de funciones de Bessel disponibles gratuitamente en Internet.

Las eigenfunciones de onda para l = 0 están dadas por:


en donde A es la constante de normalización. Para otros valores (superiores) de l, la función de onda se vuelve más complicada.

Los conceptos que hemos visto aquí tendrán posteriormente una aplicación extraordinariamente importante cuando tratemos el problema de un electrón confinado a una “caja”, o mejor dicho, a un pozo de potencial esférico, como el potencial V(r) que proporciona un núcleo atómico “encerrando” al electrón dentro de un potencial esférico. Esto es precisamente lo que hace posible la existencia de los átomos y el comportamiento de los elementos para formar compuestos químicos.

No hay comentarios:

Publicar un comentario en la entrada

Nota: solo los miembros de este blog pueden publicar comentarios.