martes, 11 de agosto de 2009

Matrices y sub-matrices

Hemos visto con anterioridad que los valores que puede tomar el spin del electron pueden ser representados mediante una de las tres matrices de Pauli. Y hemos visto que los valores que puede tomar el momento angular orbital del electrón también pueden ser representados con matrices. En general, habrá un número cuántico requerido para representar los valores que puede tomar el spin del electrón, y habrá otro número cuántico requerido para representar los valores que puede tomar el momento angular orbital del mismo electrón. Esto significa que para caracterizar al electrón necesitamos por lo menos dos números cuánticos diferentes. El problema obvio que tenemos ahora es: ¿cómo podemos visualizar matricialmente algo para lo cual se requieren dos matrices diferentes para especificarlo? No podemos manejar ambas situaciones totalmente por separado porque podemos tener un brinco del electrón de un estado cuántico caracterizado por cierta combinación de los dos valores cuánticos a otro estado cuántico caracterizado por otra combinación diferente de los dos valores cuánticos. Y una simple multiplicación de matrices no es posible, porque no hay definición alguna para el producto de una matriz 2x2 (la que corresponde al spin del electrón) y una matriz de orden diferente, digamos 5x5. ¿Tenemos entonces que prescindir de la representación matricial visual? No necesariamente. Lo que tenemos que hacer es insistir en juntar ambas matrices de alguna manera. Y la manera más conveniente de lograrlo es incrustando las matrices que representan cierto número cuántico dentro de las matrices que representan al otro número cuántico. Lo que estamos haciendo, en efecto, es manejar uno de los dos tipos de matrices como una sub-matriz, una matriz incrustada dentro de la otra. A continuación tenemos un ejemplo de ello, una matriz cuyos componentes son a su vez matrices:


Obsérvese que la “gran matriz” es una matriz diagonalizada. Con “0” en realidad estamos representando sub-matrices cuyos componentes son todos cero, las cuales tienen tantos renglones como renglones tiene la sub-matriz L que está junto a ellas en el mismo renglón, y las cuales tienen tantas columnas como la sub-matriz L que está encima (o debajo) de ellas en la misma columna. No es indispensable que la “gran matriz” sea una matriz diagonalizada, pero sí extremadamente ventajoso porque nos simplifica mucho las cosas. Las sub-matrices en este ejemplo pueden ser algo como lo siguiente:


Obsérvese que al igual que como ocurre con la “gran matriz” del ejemplo, cada una de las sub-matrices también es una matriz diagonalizada. No es indispensable que cada una de las sub-matrices sea también una matriz diagonalizada, pero sí extremadamente ventajoso porque nos simplifica mucho las cosas.

De este modo, emerge un patrón general de sub-matrices anidadas dentro de otra matriz que va tomando el siguiente aspecto:


En algunos textos, con el fin de simplificar la visualización, en vez de escribir las matrices cero0” que van en cada renglón y en cada columna de la gran matriz se suelen poner dos ceros fuera de la diagonal principal dando a entender que todo lo que hay allí son ceros.


Resuelto el problema sobre cómo representar matrices y sus sub-matrices en forma explícita, debemos tratar de definir alguna manera de poder representarlas en forma compacta, ya que es mucho más manejable escribir algún desarrollo que tenga una expresión como QP-PQ que hacerlo con matrices que dibujadas en forma explícita son capaces de consumir rápidamente mucho tiempo y mucho espacio. Afortunadamente, hay una forma de hacerlo, y ésta forma consiste en aprovechar el hecho de que prácticamente todas las matrices que se utilizan en la Mecánica Cuántica son matrices que pueden ser diagonalizadas con sus elementos puestos a lo largo de la diagonal principal con ceros en el resto de las entradas de la matriz, y si no pueden ser diagonalizadas al menos se pueden transformar en algo que semeja una forma diagonal con ceros puestos en el resto de las entradas. Esto nos permite recurrir a  un delta de Kronecker δij para definir la matriz principal, y a otro delta de Kronecker δab para definir las sub-matrices que van colocadas ordenadamente dentro de la matriz principal. Y de hecho podemos extender este recurso para anidar sub-matrices dentro de sub-matrices cuantas veces queramos. Como ejemplo de esto, considérese la siguiente matriz Lz:


Para la construcción de la matriz Lz tomaremos en consideración el hecho de que el número “principal” que nos define a la matriz mayor es el número cuántico l, y una vez definido el número cuántico l los valores (enteros positivos y negativos) que puede tomar el número cuántico m son los siguientes:

-l, -l + 1, -l + 2, -l + 3, -l + 4, ... l - 4, l - 3, l -2, l - 1, l

Puesto que los valores que puede tener el número cuántico m están siempre supeditados a los valores que pueda tomar el número cuántico l, las matrices cuyas entradas son los valores que pueda tomar el número cuántico m deben estar anidadas como sub-matrices dentro de la “gran matriz” cuyas entradas corresponden al número cuántico l, y no al revés.

En la notación compacta:


la cantidad es el valor que corresponde a la entrada que dentro de la sub-matriz para el número cuántico m es puesta en la columna m’ y en el renglón m y  sub-matriz que a su vez va puesta en el lugar de la matriz que para el número cuántico l  corresponde a la columna l’ y al renglón l. De cualquier manera, y por la acción del delta de Kronecker, las únicas entradas diferentes de cero serán aquellas para las cuales m = m’ y l = l’ en el caso de la matriz que representa a Lz.

PROBLEMA: Determínense las entradas de la matriz  definida arriba para el caso en el cual l = 1.

Para el caso en el cual l = 1, los valores posibles de m son los siguientes:

m = -1, 0, +1

Tenemos entonces:


Por razones de obvia simplicidad, en lugar de indexar los renglones y las columnas de la sub-matriz como 1, 2 y 3 (usando 1 para identificar al primer renglón, usando 2 para identificar al segundo renglón y usando 3 para identificar al tercer renglón, haciendo lo mismo con los identificadores de las columnas), usaremos una indexación que coincidirá con los valores que tomen las cantidades m, en orden ascendente de arriba hacia abajo y de izquierda a derecha. De esta manera, el primer renglón de la sub-matriz será identificado como el renglón -1, el segundo renglón será identificado como 0, y el tercer renglón será identificado como 1. Del mismo modo, la primera columna de la sub-matriz será identificada como la columna -1, la segunda columna de la sub-matriz será identificada como la columna 0, y la tercera columna será identificada como la columna 1. Esto lo podemos hacer porque la indexación de los renglones y las columnas es tan arbitraria como el asignarle un nombre a una persona a los pocos días de su nacimiento.

Como puede leerse de los resultados que hemos obtenido de la fórmula, para l = 1 y m = 1 la entrada +ħ va puesta en la columna indexada con el número 1 en el primer sub-índice del delta de Kronecer δ1,1 y en el renglón indexado con el segundo sub-índice del delta de Kronecker (color magenta) δ1,1 de la sub-matriz cuyo lugar está en la columna l’ = 1 y en el renglón l = 1 de la “gran matriz”. Para l = 1 y m = 0 la entrada 0 va puesta en la columna indexada con el número 0 en el primer sub-índice del delta de Kronecker δ0,0 y en el renglón también indexado con el número 0 en el segundo sub-índice del delta de Kronecer δ0,0 de la sub-matriz cuyo lugar está en la columna l’ = 1 y en el renglón l = 1 y en la columna  de la “gran matriz”. Y para l = 1 y m = -1 la entrada -ħ va puesta en la columna indexada con el número -1 en el primer sub-índice del delta de Kronecker δ-1,1 y en el renglón también indexado con el número -1 en el segundo sub-índice del delta de Kronecer δ-1,-1 de la sub-matriz cuyo lugar está en la columna l’ = 1 y en el renglón l = 1 de la “gran matriz”. En todo momento son los deltas de Kronecker los que se encargan de irle asignando cada valor de Lz al lugar que le corresponde. Escrita en forma explícita, la sub-matriz de Lz para l = 1 toma el siguiente aspecto (cada uno de los valores de la sub-matriz va multiplicado por la constante ħ que fue sacada fuera de la sub-matriz como podemos hacerlo cuando se trata de un factor común a todos los elementos):


 PROBLEMA: Determínense las entradas de la matriz  definida arriba para el caso en el cual l = 2, y escríbase asimismo la “gran matriz” juntando el resultado obtenido aquí con el resultado anterior.

Para el caso en el cual l = 2, los valores posibles de m son los siguientes:

m = -2, -1, 0, +1, +2

Tenemos entonces, de acuerdo con la fórmula compacta, los siguientes valores para la sub-matriz l = 2 de la “gran matriz” Lz :


El acomodo de los elementos dentro de la sub-matriz seguirá el siguiente orden:


Como puede leerse en los resultados obtenidos mediante la fórmula matricial compacta, para l = 2 y m = -2 la entrada -2ħ va puesta en la columna indexada como m’ = -2 y en el renglón también indexado como m = -2 de la sub-matriz cuyo lugar está en la columna l’ = 2 y en el renglón l = 2 de la “gran matriz”. Para l = 2 y m = -1 la entrada -ħ va puesta en la columna indexada como m’ = -1 y en el renglón también indexado como m = -1 de la sub-matriz cuyo lugar está en la columna l’ = 2 y en el renglón l = 2 de la “gran matriz”. Para l = 2 y m = 0 la entrada 0 va puesta en la columna indexada como m’ = 0 y en el renglón también indexado como m = 0 de la sub-matriz cuyo lugar está en la columna l’ = 2 y en el renglón l = 2 de la “gran matriz”. Para l = 2 y m = 1 la entrada +ħ va puesta en la columna indexada como m’ = 1 y en el renglón también indexado como m = 1 de la sub-matriz cuyo lugar está en la columna l’ = 2 y en el renglón l = 2 de la “gran matriz”. Y finalmente, para l = 2 y m = 2 la entrada +2ħ va puesta en la columna indexada con el número 2 de acuerdo al primer sub-índice del delta de Kronecker δ2,2 y en el renglón también indexado con el número 2 de acuerdo al segundo sub-índice del delta de Kronecer δ2,2, de la sub-matriz cuyo lugar está en la columna l’ = 2 y en el renglón columna l = 2 de la “gran matriz”. De nueva cuenta, obsérvese cómo los deltas de Kronecker se encargan de irle asignando cada valor de Lz al lugar que le corresponde dentro de la sub-matriz y la “gran matriz”. Escrita en forma explícita, la sub-matriz de Lz para l = 2 toma el siguiente aspecto (cada uno de los valores de la sub-matriz va multiplicado por la constante ħ que fue sacada fuera de la sub-matriz como podemos hacerlo cuando se trata de un factor común a todos los elementos):


En forma explícita como se acostumbra hacerlo al trabajar con matrices de tamaño moderado, el bosquejo del arreglo matricial que corresponde a la fórmula matricial compacta para Lz es el siguiente:


PROBLEMA: ¿Cuál es la posición del elemento puesto con fondo amarillo en la matriz de arriba?

La posición de la sub-matriz dentro de la “gran matriz” corresponde al renglón l = 2 y a la columna l’ = 2. Y dentro de esta sub-matriz, la posición del elemento -1 corresponde al renglón m = -1 y a la columna m’ = -1. Si la indexación utilizada para definir las posiciones de los elementos dentro de la sub-matriz parece un poco desconcertante, podemos indexarlos entonces de la manera usual usando los enteros 1, 2, 3, 4 y 5 para identificar cualquier renglón y usar los mismos enteros 1, 2, 3, 4 y 5 para identificar cualquier columna, pudiendo hablar del elemento como un elemento que va en el cuarto renglón y en la cuarta columna de la sub-matriz. O bien podemos indexar los elementos usando los enteros 0, 1, 2, 3 y 4. Recuérdese siempre que la indexación es arbitraria. Si hemos utilizado aquí una indexación que parece un poco inusual es porque haciéndola igual al signo y al valor del elemento facilitamos el posicionamiento del elemento. Llámesele a éste un truco de mnemotécnica si se desea. El objetivo es simplificar un poco las cosas.

Ahora veremos otro ejemplo de sub-matrices anidadas dentro de otra matriz. Se trata de la matriz L² que podemos simbolizar de forma compacta de la siguiente manera:


PROBLEMA: Determínense las entradas de la matriz  definida arriba para los casos en los cuales l = 1 y l =2 suponiendo que para los valores posibles de m se aplica la restricción:

-l, -l + 1, -l + 2, -l + 3, -l + 4, ... l - 4, l - 3, l -2, l - 1, l

Obsérvese que en este caso es el valor de l = 1 el que importa mientras que m no influye en nada en la asignación del valor de cada elemento, únicamente en su ubicación. Para el caso en el cual l = 1, los valores posibles de m son los siguientes:

m = -1, 0, +1

Tenemos entonces que para l = 1:


 Para el caso en el cual l = 2, los valores posibles de m son los siguientes:

m = -2, -1, 0, +1, +2

Tenemos entonces:


El arreglo que corresponde a la fórmula matricial que se acaba de dar es el siguiente:


Veremos a continuación una situación un poco más interesante, la que corresponde a los operadores escalera en los cuales por cierto los elementos que son diferentes de cero no van colocados a lo largo de la diagonal principal, de acuerdo a los deltas de Kronecker utilizados para ubicar cada valor dentro de la “gran matriz”. En el caso del operador escalera L-, la representación matricial compacta incluyendo los dos números cuánticos l y m es la siguiente:


PROBLEMA: Determínense las entradas de la matriz operador escalera L- para el caso en el cual l = 2 suponiendo que para los valores posibles de m se aplica la restricción:


-l, -l + 1, -l + 2, -l + 3, -l + 4, ... l - 4, l - 3, l -2, l - 1, l

y escríbase asimismo la sub-matriz que corresponde a éste valor de l.


Obsérvese que en el caso del operador escalera L- ambos números cuánticos l y m influyen no sólo para la ubicación de cada “elemento” (sub-matrices) dentro de la “gran matriz” sino también en la determinación del valor de cada elemento (cada uno de los valores de las sub-matrices).

Trabajando con la fórmula proporcionada, para el caso en el cual l = 2 y m = 2, la fórmula nos produce lo siguiente:


Se ha puesto en la fórmula l’ = l = 2 en virtud de que para cualquier otro valor de l’ el delta de Kronecker en color azul se desvanecerá al no ser sus dos sub-índices iguales. Por otro lado, en virtud de la propiedad del delta de Kronecker que requiere que ambos índices sean iguales para tomar un valor igual a la unidad, desvaneciéndose en caso contrario, el único valor de m’ para el cual el delta de Kronecker en color magenta no se desvanecerá deberá ser igual a 1. Si enumeramos los renglones de la matriz L- como m en orden ascendente de arriba hacia abajo desde -2 hasta +2, e igualmente si etiquetamos las columnas de la matriz L- como m’ en orden ascendente de izquierda a derecha desde -2 hasta +2, el resultado obtenido nos dice que la entrada 2ħ deberá de ser puesta en la sub-matriz en su renglón m = 2 y en su columna m’ = 1, o sea en el quinto renglón y en la cuarta columna de la sub-matriz.

Para el caso en el cual l = 2 y m = 1, la fórmula nos produce lo siguiente:


Nuevamente, se ha puesto en la fórmula l’ = l = 2 en virtud de que para cualquier otro valor de l’ el delta de Kronecker en color azul se desvanecerá al no ser sus dos sub-índices iguales. Por otro lado, en virtud de la propiedad del delta de Kronecker que requiere que ambos índices sean iguales para tomar un valor igual a la unidad, desvaneciéndose en caso contrario, el único valor de m’ para el cual el delta de Kronecker en color magenta no se desvanecerá deberá ser igual a 0. Enumerados los renglones de la matriz L- como m en orden ascendente de arriba hacia abajo desde -2 hasta +2, e igualmente etiquetadas las columnas de la matriz L- como m’ en orden ascendente de izquierda a derecha desde -2 hasta +2, el resultado obtenido nos dice que la entrada √6ħ deberá de ser puesta en la sub-matriz en el renglón m = 1 y en la columna m’ = 0, o sea en el cuarto renglón y en la tercera columna de la sub-matriz.

Procediendo de igual manera encontramos que: (a) la entrada √6ħ deberá de ser puesta en la sub-matriz en el renglón m = 0 y en la columna m’ = -1, o sea en el tercer renglón y en la segunda columna de la sub-matriz, y (b) la entrada 2ħ deberá de ser puesta en la sub-matriz en el renglón m = -1 y en la columna m’ = -2, o sea en el segundo renglón y en la primera columna de la sub-matriz,

Por último, para el caso en el cual l = 2 y m = -2, la fórmula nos produce lo siguiente:


Este resultado nos dice que una entrada de 0 vendría siendo puesta en la sub-matriz en el renglón m = -3 y en la columna m’ = -3. Pero de acuerdo a la indexación que estamos utilizando, no hay espacio para tal valor dentro de nuestra sub-matriz cuyo tamaño es de 5x5. Consecuentemente, desechamos tal valor, y de este modo la sub-matriz de L- que corresponde a l = 2 con la que venimos terminando se muestra a continuación:

 
PROBLEMA: Determínense las entradas de la matriz operador escalera L- para el caso en el cual l = 1 suponiendo que para los valores posibles de m se aplica la restricción:


-l, -l + 1, -l + 2, -l + 3, -l + 4, ... l - 4, l - 3, l -2, l - 1, l

Escríbase la sub-matriz que corresponde a éste valor de l, y escríbase asimismo la “gran matriz” juntando el resultado obtenido aquí con el resultado anterior.

Al igual que como ocurrió con el caso para el cual l = 2, observamos que los elementos de la sub-matriz no irán colocados a lo largo de la diagonal principal sino a lo largo de una matriz adyacente.

Para este caso en el cual l = 1, los valores posibles de m son los siguientes:

m = -1, 0, +1

Trabajando con la fórmula proporcionada, para el caso en el cual l = 1 y m = 1, la fórmula nos produce lo siguiente:


Y trabajando para el caso en el cual l = 1 y m = 0, la fórmula nos produce lo siguiente:


Poniendo cada una de las entradas (valores) en los lugares que les son asignados por los deltas de Kronecker, tenemos entonces la sub-matriz de L- que buscamos para l = 1:


Con esta sub-matriz para l = 1, y la sub-matriz obtenida anteriormente para l = 2, podemos formar un bosquejo de la “gran matriz” L- mostrando las primeras tres sub-matrices de las que consta L-:


Del mismo modo en que se tiene una fórmula matricial compacta para representar a la matriz operador escalera L-, también tenemos la siguiente fórmula compacta de la “gran matriz” que representa al operador escalera L+:


Yendo un poco hacia atrás, recordaremos cómo era posible obtener la matriz que corresponde a Lx a partir de las matrices escalera L+ y L- mediante la siguientes relación:

Lx = (L+ + L-)/2

Esto significa que podemos definir una fórmula matricial compacta para Lx usando las fórmulas dadas arriba para L+ y L+ de la siguiente manera:


De este modo, la fórmula matricial compacta de arriba nos permite escribir la sub-matriz de Lx que corresponde a l = 1 de la siguiente manera:


 que tras la factorización “hacia afuera” del factor constante ħ/√2 toma el siguiente aspecto:


Y a continuación tenemos un bosquejo de la “gran matriz” Lx:


Procediendo de la misma manera, para obtener la matriz que corresponde a Ly a partir de las matrices escalera L+ y L- recurrimos a la siguiente relación:

Ly = -i (L+ - L-)/2

De la fórmula compacta obtenida para Ly, obtenemos los valores que corresponden a l = 1 así como el posicionamiento que les corresponde de acuerdo a lo que especifican los deltas de Kronecker. De este modo,  podemos escribir la sub-matriz de Ly que corresponde a l = 1 de la siguiente manera factorizando “hacia afuera” del factor constante ħ/√2,:


Y a continuación tenemos un bosquejo de la “gran matriz” Ly:







[Lz]lm,l'm' = m' ħ δll' δmm'

y sabiendo que los valores permisibles son:


l = 0, 1, 2, 3, ...___l' = 0, 1, 2, 3, ...

- l ml____- l' m'l'

obtener los primeros nueve valores para la misma y escribirlos en notación matricial explícita distinguiendo a las submatrices que corresponden a los valores que van incrustadas dentro la gran matriz cuyos renglones y columnas corresponden a los valores de m y
m'.

Puesto que m y m' están acotados a los valores máximo y mínimo que puedan tomar l y l' como enteros, las matrices que corresponden a los m serán sub-matrices anidadas dentro de la matriz cuyos renglones y columnas están especificados por los valores que puedan tomar l y l'.

Para l = 0, l' = o, m = 0 y m' = 0 hay un solo valor posible:

__[Lz]00,00 = 0(0 + 1) ħ² δ00 δ00 = 0

PROBLEMA: Dada la siguiente relación:

[L²]lm,l'm' = l(l +1) ħ² δll' δmm'

y sabiendo que los valores permisibles son:


l = 0, 1, 2, 3, ...___l' = 0, 1, 2, 3, ...

- l ml____- l m'l

obtener los primeros nueve valores para la misma y escribirlos en notación matricial explícita distinguiendo a las submatrices que corresponden a los valores que van incrustadas dentro la gran matriz cuyos renglones y columnas corresponden a los valores de m
.

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