martes, 11 de agosto de 2009

El modelo atómico planetario de Bohr II

Para un átomo hidrogenoide, el modelo planetario de Bohr nos indica que la energía del electrón (la cual tomaremos como la energía del átomo) se puede escribir de la siguiente manera:



en donde se han hecho sucesivamente los reemplazos ħ = h/2π y k = 1/4πε0.

De este modo, en el sistema de unidades SI (MKS), la energía de un electrón en un átomo de hidrógeno para el cual su número atómico es Z = 1 y el cual está situado en la primera capa cuyo número cuántico principal es n = 1 se puede escribir de la siguiente manera:



Se ha encontrado que el resultado predicho teóricamente con la fórmula anterior no concuerda del todo con el resultado obtenido experimentalmente. Esto se debe a que en la derivación de la fórmula correcta tenemos que utilizar no la masa del electrón me sino la masa reducida μ del átomo. Para un sistema de dos partículas, uno con masa M y el otro con masa m (como lo es el caso del átomo de hidrógeno formado por un protón y un electrón), la masa reducida del par de partículas se define formalmente de la siguiente manera:


que podemos reescribir de la siguiente manera:



Para fines prácticos, usualmente se considera que el núcleo del átomo, cargado positivamente, tiene una masa tan grande comparada con la del electrón que puede considerarse infinitamente pesado para fines de cálculo, o lo que es lo mismo, suponemos que se encuentra en reposo total con el electrón girando a una distancia fija con respecto al centro geométrico del núcleo. Pero si consideramos que el núcleo tiene una masa M, entonces su energía cinética será mV²/2 = P²/2M en donde P = MV es el momentum. Si se tiene en cuenta que la masa del núcleo es finita y suponemos que el momentum total del átomo es igual a cero, entonces el momentum del núcleo atómico y del electrón deben ser iguales. La energía cinética total debe ser entonces igual a:


en donde aparece inevitablemente la masa reducida simbolizada con la letra griega μ. La energía cinética resulta ser entonces ligeramente diferente de la energía del electrón porque la masa reducida μ es ligeramente diferente. Los resultados obtenidos previamente para el modelo atómico planetario de Bohr en donde se había supuesto un núcleo de masa infinitamente grande pueden ser aplicados directamente para el caso de un núcleo atómico de masa M si reemplazamos a la masa del electrón en las ecuaciones por la masa reducida μ. La corrección obtenida equivale a tan sólo una parte en 2,000 para el caso del hidrógeno, y es aún menor para átomos con núcleos más pesados. Para el hidrógeno se tiene que la masa del núcleo que podemos tomar como la masa total del átomo es aproximadamente 1836 veces mayor que la masa del electrón, o sea m/M = 1/1836.

Si queremos una concordancia mayor entre los resultados predichos teóricamente y los resultados obtenidos experimentalmente, debemos entonces reemplazar en la fórmula de Boh a la masa del electrón por la masa reducida del átomo:



PROBLEMA: Utilizando las siguientes constantes físicas obtenidas con experimentos de alta precisión:

me = 9.109534·10-31 kilogramo

μ = 9.104576·10-31 kilogramo

e = 1.6021892·10-19 coulomb

ε0 = 8.85418782·10-12 coulomb²/newton·metro²

h = 6.626176·10-34 joule segundo

obténgase la energía de un átomo de hidrógeno en el estado basal (1) utilizando la fórmula de Bohr con la masa del electrón, y (2) utilizando la fórmula de Bohr con la masa reducida del átomo.

Utilizando la fórmula de Bohr con la masa del electrón, el cálculo en el sistema SI-MKS de unidades es el siguiente:



Utilizando la fórmula de Bohr con la masa reducida del átomo, el cálculo en el sistema SI-MKS de unidades es el siguiente:



Este último valor está más cercano al valor obtenido en el laboratorio en experimentos de alta precisión al medirse mediante un parámetro conocido como el potencial de ionización del átomo de hidrógeno, en el estado basal. De este modo, aunque la diferencia en los cálculos teóricos entre el utilizar la masa del electrón y la masa reducida del átomo es pequeña, los experimentos de alta precisión confirman que la fórmula basada en la masa reducida del átomo es la correcta.

Lo anterior también nos permite modificar la constante de Rydberg para obtener:



que, ya usando valores, resulta ser para el átomo de hidrógeno:

RH = (1.09737·10-3/Å)/[1 + (1/1836)]

RH = 1.0968·10-3

Este valor esta en buena concordancia con el valor experimental R = 1.0967758·10-3

PROBLEMA: La medición experimental de las líneas Hα del deuterio y del hidrógeno son, respectivamente, 6561.01 Å y 6562.80 Å. Calcular la relación entre las masas del deuterio y del hidrógeno.

La fórmula de Rydberg en función de la masa reducida del átomo es:



siendo m la masa del electrón y M la masa del núcleo. Para una misma transición de estados y para un mismo Z, esto implica que λ es proporcional a 1 + (m/M), o sea:



A partir de esto podemos obtener lo siguiente:



Usando m/MH = 1/1836 y reemplazando con los valores experimentales proporcionados:



Simplificando y resolviendo obtenemos entonces:

MH/MD ≈ 0.5

MD/MH ≈ 2.0

Esto nos revela que el deuterio tiene una masa atómica igual al doble de la masa del hidrógeno. Fue precisamente a través de mediciones de este tipo como se descubrió el deuterio.

PROBLEMA: Demuéstrese que la fracción de cambio en la longitud de onda λ de una línea espectral ocasionada por un pequeño cambio en la masa reducida μ del átomo está dada por la siguiente relación:

Δλ/λ = - Δμ/μ

Para comprobar la relación proporcionada, podemos tomar como punto de partida la frecuencia Rydberg del átomo de Bohr, la cual está dada por:



De esta frecuencia podemos obtener la longitud de onda de una línea espectral:



Para experimentos de alta resolución y precisión, se vuelve necesario reemplazar en esta última relación a la masa del electrón por la masa reducida μ del átomo:



Diferenciando a λ con respecto a μ:



Para variaciones pequeñas en la masa reducida, como frecuentemente es el caso, podemos reemplazar a los diferenciales que aparecen arriba por incrementos pequeños Δ, con lo cual tenemos entonces:



PROBLEMA: El modelo atómico planetario de Bohr se basó en la suposición de que la fuerza de atracción eléctrica entre el protón en el núcleo del átomo y el electrón orbitando en torno al núcleo variaba de acuerdo a la ley de Coulomb, en razón inversa del cuadrado de la distancia de separación entre ambas cargas eléctricas. Obténganse los niveles de energía permisibles en caso de que la atracción eléctrica sea proporcional a la inversa de una potencia de tres-medios de la distancia entre ambas cargas.

Para que pueda haber una órbita estable, la fuerza de atracción eléctrica que en este caso sería:



debe ser balanceada por una fuerza centrípeta de igual magnitud, lo que impone la condición:



Ahora bien, la energía potencial eléctrica a una distancia fija de la carga central se puede calcular de la siguiente manera:



La energía total es igual a la energía cinética del electrón sumada a la energía potencial que acabamos de calcular, o sea:



Combinando todo lo anterior en forma parecida a como se hace en el caso ordinario cuando la fuerza de atracción eléctrica varía en razón inversa del cuadrado de la distancia entre las cargas, obtenemos:



Si el momento angular del electrón ha de seguir cuantizado, entonces debemos seguir teniendo:

L = nħ

o bien, siendo el momento angular orbital igual a L = rp = mvr:

mvr = nħ

debe seguir siendo válida. Combinándolo todo obtenemos para el radio de una órbita estable para cada valor de n:



Con esto obtenemos finalmente los niveles de energía permisibles:



Muy desde el principio en el que fue postulado el modelo atómico planetario de Bohr, se descubrió que un solo número cuántico no era suficiente para poder explicar todas las líneas de emisión y absorción de los elementos observadas en el laboratorio, especialmente cuando los gases eran sometidos a un campo magnético que producía la aparición de nuevas líneas en los espectros. Con el fin de explicar esas líneas adicionales, Arnold Sommerfeld introdujo en 1916 el modelo elíptico en el cual, además de las órbitas circulares postuladas por Bohr, el electrón se podía mover en torno al núcleo atómico siguiendo órbitas elípticas, en forma muy parecida a como ocurre con los movimientos planetarios en torno al Sol de acuerdo con las leyes de Kepler. De este modo, era posible postular la existencia de dos números cuánticos en lugar de uno solo, un número cuántico radial nr relacionado con la distancia del electrón hacia el núcleo atómico, y un número cuántico angular nθ relacionado con la velocidad angular de la trayectoria elíptica. Las órbitas elípticas tenían que ser consistentes también con la condición de que el momento angular tenía que estar cuantizado a lo largo de una trayectoria cerrada. Así, en lugar de haber una sola condición de cuantización, había ya dos condiciones, enunciadas por Sommerfeld de la siguiente manera:



en donde L es la cantidad del movimiento angular o momento angular, y pr es la cantidad de movimiento lineal, y h es la constante de Planck. El círculo puesto en medio del signo integral indica que la integral se debe tomar sobre una trayectoria cerrada, o lo que es lo mismo, sobre un ciclo o período completo del movimiento. Se acostumbra resumir ambas condiciones en una sola recurriendo a coordenadas generalizadas:



Esta condición es también conocida como la regla de cuantización Bohr-Sommerfeld y también como la regla de cuantización Wilson-Sommerfeld. El uso de esta regla no está limitado a problemas en los cuales el recorrido se lleva a cabo sobre trayectorias elípticas como lo veremos a continuación.

PROBLEMA: Obténgase la condición de cuantización para una partícula moviéndose en un campo de fuerza central siguiendo una órbita circular.

La condición de cuantización para este problema es:



Puesto que a lo largo de una trayectoria circular el momento angular permanece constante, lo podemos sacar fuera de la integral:



La integración angular sobre una trayectoria completa es igual a 2π, con lo cual:



Esta es precisamente la condición que fué descubierta por Bohr.

PROBLEMA: Obténgase la condición de cuantización de energía para un oscilador armónico simple mediante la regla de cuantización de Sommerfeld.

La ley del movimiento de Newton F = ma aplicada a una masa conectada a un resorte con una constante de fuerza K es igual a:



Una solución para esta ecuación diferencial de segundo orden es la siguiente:

x = A sen(ωt)

en donde A es la amplitud del movimiento y ω es la frecuencia angular:

ω = 2πf = √K/m

La suma de la energía potencial, Kx²/2, y la energía cinética, P²/2m, en donde P es la cantidad de movimiento lineal del oscilador, debe ser constante por el principio de la conservación de la energía, e igual al valor máximo de cualquiera de ambos:



Usando la solución a la ecuación diferencial, podemos calcular dx y el momentum P de la siguiente manera:

dx = ωAcos(ωt) dt

P = m(dx/dt) = mωAcos(ωt)

En este problema, la regla de cuantización de Sommerfeld nos dará lo siguiente:



Usando mω²A² = 2E, obtenemos:



Puesto que la velocidad angular ω, que se mantiene constante, es igual al ángulo θ por unidad de tiempo, o sea ω = θ/t, podemos hacer θ = ωt y llevar a cabo la integración sobre un ciclo angular completo de θ = 0 a θ = 2π:



Esto nos lleva finalmente a la siguiente cuantización de la energía del oscilador armónico simple de acuerdo a la regla de Sommerfeld:

E = nħω

Esta es precisamente la condición utilizada por Planck para la cuantización de los osciladores con los cuales pudo explicar correctamente la radiación términa del cuerpo negro.

PROBLEMA: Una partícula se mueve unidimensionalmente hacia atrás y hacia adelante dentro de una caja de longitud L. Suponiendo que no hay fuerzas actuando sobre la partícula excepto cuando rebota contra las paredes siendo el choque perfectamente elástico, encontrar la energía que puede tener la partícula de acuerdo a la regla de Sommerfeld.

Si seleccionamos nuestro sistema de coordenadas de modo tal que la partícula empiece su movimiento hacia la derecha justo cuando acaba de rebotar en la pared izquierda, iniciando con ello el ciclo de su recorrido hasta regresar nuevamente a golpear en la pared izquierda, la trayectoria completa de la partícula consta de dos tramos, su recorrido de izquierda a derecha y su recorrido de derecha a izquierda. En tal caso, la regla de cuantización de Sommerfeld nos resulta en lo siguiente:



Revirtiendo nuevamente al momentum lineal P = mv:



Suponiendo que la partícula se está desplazando a una velocidad lo suficientemente baja como para que no apliquen en ella las correcciones requeridas cuando la partícula se mueve a velocidades cercanas a la velocidad de la luz, la energía que puede tener la partícula estará entonces cuantizada de acuerdo a:



Sommerfeld hizo mucho más que darle una formulación matemática elegante a los postulados de Bohr. Al introducir el concepto de las órbitas planetarias elípticas, Sommerfeld fue el primero en llevar a cabo también una curiosa combinación de las dos ramas principales de la física moderna: la Mecánica Cuántica y la Teoría de la Relatividad. Un resultado de la mecánica Newtoniana clásica aplicable a los movimientos planetarios es el de que en un campo de fuerza que varía en razón inversa al cuadrado de la distancia (ley de la gravitación universal de Newton) la energía depende únicamente del semieje mayor de la elipse y no de la excentricidad de la elipse, no habiendo por lo tanto cambio alguno a menos de que la fuerza de atracción difiera de la relación usual de la inversa del cuadrado de la distancia o de que la mecánica Newtoniana sea modificada. Sommerfeld consideró el efecto de tomar en cuenta a la Teoría Especial de la Relatividad (no a la Teoría General de la Relatividad que incluye el estudio de los fenómenos de la gravedad) en el modelo de Bohr. Puesto que las correcciones relativistas deben ser del orden de v²/c², para Sommerfeld era lógico esperar que una órbita altamente excéntrica requiriera una mayor corrección en los cálculos porque la velocidad v se vuelve mayor al estar el electrón más cercano al núcleo del átomo. Aunque los cálculos efectuados por Sommerfeld son algo elaborados, podemos estimar el orden de magnitud del efecto relativista calculando el valor de v/c para la primera órbita de Bohr en el hidrógeno.

PROBLEMA: Estimar el valor de v/c para la primera órbita en el modelo atómico planetario de Bohr para un átomo de hidrógeno.

Para la primera órbita con n = 1 tenemos lo siguiente de la condición de cuantización del momento angular:

L = nħ

mvr0 = ħ

v = ħ/mr0

Por otro lado, ya habíamos visto que el radio para la primera órbita de Bohr está dado por:



En el caso del hidrógeno cuyo número atómico es Z = 1, el radio de la primera órbita viene siendo:



Entonces:

v = ħ/mr0

v = Ke²/ħ

Dividiendo ambos miembros entre la velocidad de la luz:



Usando las constantes físicas:

ke² = 14.4 eV·Å

ħc = 1970 eV·Å

tenemos entonces que la corrección relativista v/c resulta ser:

v/c = (14.4 eV·Å)/(1970 eV·Å)

v/c ≈ 1/137

Este último resultado adimensional frecuentemente es designado con la letra α, y ha resultado ser algo de importancia fundamental que ha sobrevivido inclusive al abandono actual del modelo de Sommerfeld. Aunque v²/c² es muy pequeño, un efecto de esta magnitud es observable. Utilizando espectroscopios de alta resolución se puede observar que lo que parece ser una sola línea resulta ser varias líneas con espaciamientos muy cercanos entre ellas. Esto es explicado en la teoría de Sommerfeld de la siguiente manera: para cada órbita circular de radio rn y energía En existe un conjunto de n órbitas elípticas con igual semieje mayor pero con diferentes excentricidades y por lo tanto energías ligeramente diferentes. Entonces la energía radiada cuando el electrón cambia de órbita depende no solo de los ejes mayores sino también en menor grado de las excentricidades de la órbita inicial y final como. La subdivisión en los niveles de energía es llamada subdivisión de estructura fina, mientras que la constante adimensional α:

α = 1/137.035999679

es mejor conocida como la constante de estructura fina de Sommerfeld o simplemente como constante de estructura fina, la cual tiene varias interpretaciones aunque generalmente es identificada hoy en día como la constante de acoplamiento que caracteriza a la fuerza de la interacción electromagnética. En la electrodinámica cuántica la constante de estructura fina desempeña el papel de una constante de acoplamiento, representando la fuerza de la interacción entre electrones y fotones. Su valor no puede predecirse por la teoría, y debe utilizarse uno basado en resultados experimentales. Este es un resultado que, pese a que fue obtenido con lo que hoy se conoce como la “mecánica cuántica vieja” de la cual el modelo de Sommerfeld forma parte, sigue siendo válido hoy en día.

De acuerdo a la Teoría Especial de la Relatividad, la energía cinética de un cuerpo no está dada por la expresión clásica mv²/2 que no pone limitaciones al cuerpo para poder moverse a velocidades inclusive superiores a la velocidad de la luz, sino por la expresión:



Esto implica que la energía total de un electrón moviéndose en torno a un núcleo atómico con una cantidad de Z cargas positivas (Z protones) debe estar dada por la relación:



Efectuando la substitución u = 1/r obtenemos lo siguiente:



Para el momentum lineal pr y el momentum radial pφ del electrón en órbita (usaremos aquí la notación de punto puesto encima de una variable para simbolizar la derivada de dicha variable con respecto al tiempo):



el cociente de los momentums será:



Esto nos permite escribir la siguiente ecuación de movimiento:



Esto último tiene la siguiente solución sencilla:



Con la regla de Sommerfeld quedan especificadas las siguientes condiciones cuánticas:



Esto nos lleva finalmente a la siguiente energía para el electrón bajo la regla de Sommerfeld:



Es precisamente en este resultado en donde aparece la constante adimensional α que no había aparecido entre los trabajos originales de Bohr, la constante de estructura fina. Históricamente, la primera interpretación física de la constante de estructura fina fue precisamente como el cociente de la velocidad del electrón en la primera órbita circular del átomo de Bohr relativista con la velocidad de la luz en el vacío (v/c), y como hemos visto aparece de forma natural en el análisis de Sommerfeld determinando el tamaño de la separación o estructura fina de las líneas espectrales del hidrógeno. Pero aún más extraordinario resulta el hecho de que la ecuación relativista que se acaba de obtener es la misma que el resultado que obtenemos con la ecuación de Dirac, la cual fue lograda introduciendo la Teoría Especial de la Relatividad no al modelo atómico planetario de Bohr sino a otra ecuación más fundamental de la Mecánica Cuántica, la ecuación de Schrödinger.

De esta forma, en el modelo de Sommerfeld para cada número cuántico principal excepto n = 1 en el modelo atómico planetario de Bohr existe otro número cuántico que describe las familias de las órbitas elípticas permisibles. No todas las órbitas elípticas posibles desde el punto de vista clásico son posibles en el modelo de Sommerfeld, y las órbitas en el modelo Sommefeld poseen el mismo semieje mayor aunque excentricidades distintas como lo muestra la siguiente figura:





En la figura de arriba, para las órbitas elípticas mostradas se ha utilizado el siguiente código cromático:



Como puede apreciarse, tenemos dos números cuánticos (n,l), y el número cuántico l denota una sub-familia dentro de cada número cuántico principal n. Para n = 1 sólo es posible una órbita circular. Para n = 2 tenemos una órbita circular caracterizada por los números cuánticos (n,l) = (2,1) y una órbita elíptica caracterizada por los números cuánticos (n,l) = (2,0), ambas de color verde (una verde obscuro y la otra verde pálido). Para n = 3 tenemos una órbita circular caracterizada por los números cuánticos (n,l) = (3,2) y dos órbitas elípticas caracterizadas por los números cuánticos (n,l) = (3,1) y (n,l) = (3,0).

Sin contar con el tratamiento relativista de Sommerfeld que hemos visto para el átomo de Bohr, podemos poner la fórmula de Bohr para cada nivel de energía En del átomo de hidrógeno en función de la constante de estructura fina α, y de hecho así es como se encuentra dicha fórmula en muchos libros de texto:



Sin embargo, a la constante de estructura fina α se le llama constante de estructura fina de Sommerfeld, no constante de estructura fina de Bohr. ¿Por qué? Empezando por el hecho de que la constante de estructura fina no fué descubierta por Bohr sino por Sommerfeld. La constante de estructura fina α surge de modo natural e inevitable cuando se aplica al átomo de Bohr la Teoría Especial de Relatividad, y una vez identificada se puede meter dentro de las fórmulas de Bohr como acostumbran hacerlo muchos textos. Sin embargo, sin la identificación hecha por Sommerfeld, la introducción de α en las fórmulas originales de Bohr resulta un tanto artificial e inclusive su empleo no está justificado sobre base filosófica alguna. Por otro lado, la constante de estructura fina está directamente relacionada con esas líneas “extra” adicionales que se presentan en el espectro del átomo de hidrógeno y que no son predichas por el modelo de órbitas circulares de Bohr, líneas “extra” que Sommerfeld atribuyó a órbitas elípticas en vez de órbitas circulares. La constante de estructura fina por sí sola no predice líneas adicionales en el modelo de Bohr basado en órbitas circulares.

El modelo atómico planetario de Bohr, mejorado substancialmente por Sommerfeld, resultó ser extremadamente exitoso para explicar las líneas espectrales causadas por los brincos del electrón de una órbita energética a otra. Sin embargo, adolecía de ciertos defectos que algunos científicos encontraron inadmisibles. La primera objeción presentada al modelo atómico planetario de Bohr venía directamente de la electrodinámica clásica, de acuerdo con la cual una carga eléctrica que esté siendo acelerada emite radiación electromagnética. Y aunque un electrón girando en torno al núcleo atómico se considera moviéndose siempre a la misma velocidad tangencial, por estar en una órbita circular está cambiando continuamente de dirección, lo cual es también una aceleración y por lo tanto una razón para que el electrón radiase energía continuamente precipitándose con ello en espiral hacia el núcleo atómico emitiendo en su caída un espectro continuo de radiación. De este modo, de acuerdo con la electrodinámica clásica, el átomo de Bohr no puede tener una existencia estable, ni siquiera podría durar más allá de unos cuantos microsegundos.

PROBLEMA: Supóngase que un átomo de hidrógeno consiste de un núcleo fijo alrededor del cual un electrón con carga eléctrica e = 4.8·10-10 esu (en el sistema Gaussiano de unidades, siendo el esu igual a un statcoulomb) se mueve en una órbita circular clásica de radio a0 = 5.29·10-9 cm. Estímese la radiación electromagnética clásica de tal átomo debida a la aceleración de la carga del electrón. La radiación de una carga eléctrica acelerada está dada por la fórmula de Larmor para órbitas circulares que es P = 2e²a²/3c3 en donde a es la aceleración de la carga y c es la velocidad de la luz. Usar unidades en el sistema Gauss-cgs para la resolución de este problema.

Obtendremos primero la velocidad tangencial del electrón al estarse moviendo a una distancia a0 del núcleo:

mva0 = h/2π

v = h/2πma0

v = (6.624·10-27 erg·seg)/[2π(9.1·10-28 gr)(5.29·10-9 cm)]

v= 2.19·108 cm/seg

La aceleración radial centrípeta será entonces:

a = v²/r = (2.19·108 cm/seg)²/(5.29·10-9 cm) = 9.07·1024 cm/seg²

Por lo tanto, en el sistema cgs-Gaussiano de unidades:

P = 2e²a²/3c3

P = 2(4.8·10-10 esu)²(9.07·1024 cm/seg²)²/3(3·1010 cm/seg)3

P = 0.468 ergs/seg

en donde hemos utilizado el hecho de que, dimensionalmente, en el sistema cgs-Gaussiano de unidades:



Esta pérdida de energía radiada hacia el exterior se traduciría en una caída en espiral del electrón hacia el núcleo atómico hasta colisionar con el mismo, lo cual daría fin a la existencia misma del átomo:



La incompatibilidad del modelo planetario atómico de Bohr con la electrodinámica clásica no era la única objeción puesta a la teoría. Estaba también el problema de que no era posible predecir a partir de dicho modelo la intensidad de las líneas observadas del espectro ni siquiera para el hidrógeno, como tampoco podía ser utilizado para poder explicar otros fenómenos de índole atómica. De hecho, lo único que podía explicar era la separación relativa de las líneas espectrales de los elementos, y nada más. Eventualmente, se llegó a la conclusión de que ni siquiera dos números cuánticos como lo había propuesto Sommerfeld serían suficientes para poder explicar todas las líneas espectrales que se iban descubriendo.

El modelo de Bohr, pese a lo exitoso que fue en su explicación de las líneas espectrales de los elementos, era demasiado mecanístico para ser extendido a la explicación de otros fenómenos propios de la física atómica. Desde esta perspectiva, su mayor debilidad era su insuficiencia.

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